| Autor |
Beitrag |
    
Marulla (Marulla)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 13:50: | 
|
Hallo,
es ist zwar ein wunderschöner Tag aber vielleicht hat jemand Zeit und Lust mir diese Aufgabe vorzurechnen:x²-y²+2xy*y'=0 (Substitution, Trennung der Variablen, Rücksubstitution bis zur allgemeinen Lösung).Über einen ausführlichen Lösungsweg wäre ich dankbar.
Mit freundlichen Grüßen
Marulla |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 15:24: |
|
Hi Marulla,
die Lösung deiner etwas komplizierteren Differentialgleichung unterteilen wir in zwei Teile:
Im ersten Teil wollen wir das sog. Bernoulli-Verfahren anwenden. Später entsteht eine zweite Differentialgleichung (Teil 2), die wir durch Separation der Variablen lösen können.
Nun aber zu Teil 1:
Bernoulli nimmt an, das sich die gesuchte Funktion y durch das Produkt y = u*v schreiben läßt. Durch diese Substitutuion und unter Berücksichtung von y' = u'v + v'u wird aus der Differentialgleichung dann
x² + u²v² + 2xuv(u'v+v'u) = 0
Das Auflösen der Klammer ergibt:
x² + u²v² + 2xv²u'u + 2xu²v'v = 0
Nun klammern wir ENTWEDER u² ODER v² aus. Wir entscheiden uns willkürlich für u² und finden:
x² + 2xv²u'u + u²(v² - 2xv'v) = 0 (I)
Nun setzen wir (immernoch nach Bernoulli´s Methode) den Term
v² + 2xvv' = 0 (II) und lösen nach v auf:
v'/v = (0,5)(1/x)
Durch beidseitiges Integrieren ergibt sich rasch
ln(v) + C = ln(Wurzel(x)) + C' (III)
In Gleichung III brauchen wir die Integrationskonstante C aber noch nicht zu berücksichtigen und setzen sie daher = 0. Nach anschließender Delogarithmierung erhalten wir:
v = Wurzel(x).
Das ist doch schon mal was!!! Jetzt brauchen wir nur noch u zu finden, und schon ist die Differentialgleichung gelöst!
Für v = Wurzel(x) wird also der Term II dann gleich Null. Diese Tatsache wollen wir in Gleichung I ausnutzen, wir erhalten dann also für v = Wurzel(x)in I eingesetzt:
x² - 2xxu'u + u²*0 = 0 (I)
Der besseren Übersicht wegen wollen wir diese neue Gleichung I in I' umbenennen!
Nun ist also nur noch
x²- 2x²u'u = 0 (I') zu lösen. Durch Ausklammern von x² und anschließendem Teilen von I' durch x²(mit x² ungleich 0) finden wir
(1 - 2u'u) = 0 (IV)
oder äquivalent
u'u = -(0,5) (IV)
Diese DGL ist sehr einfach durch Separation der Variablen zu lösen. (Teil 2). Wegen u' = du/dx
gilt:
du * u = -(0,5)dx und nach beidseitiger Integration:
(0,5)u² = -(0,5)x + C'
Beachte, das hier die Konstante C' angefügt werden muß!
u² = -x + C bzw. u = Wurzel(c-x)
Geschafft, y läßt sich also darstellen als
y = (x)(1/2)*(c-x)(1/2),
was wir durch Probe leicht nachweisen können!
Ich hoffe, ich konnte Dir weiterhelfen. Solltest du noch Fragen haben, dann sprich mich ruhig an!
Viele Grüße,
 Oliver |
Orion (Orion)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 15:41: |
|
Hallo :
Hilfe zur Selbsthilfe :
Die Substitution y^2 =: w vereinfacht die Dgl.
zunächst zu
x w' = w - x^2
Diese ist linear, 1. Ordnung. Die homogene
(verkürzte) Gleichung lautet
x w' = w
Deren allgemeine Lösung w_0 kann man unmittelbar
ablesen. Eine partikuläre Lösung der inhomogenen
Gleichung ist z.B. w_1 = - x^2, also nach der
Theorie
w = w_0 + w_1
mfg
Orion |
Gorn
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 16:08: |
|
Hallo Oliver und Orion, schön, ihr du diese Methoden gezeigt habt.
Da ich die nicht kannte und mir die Forderung, sie mit Substitution zu lösen, wirklich zu kompliziert war, habe ich versucht, die Dgl. auf ein vollständiges Differential zurückzuführen.
(Theorie dazu vgl. z.B. an der wunderschön durchgerechneten Aufgabe auf www.zahlreich.de/hausaufgaben/messages/4244/25190.html)
x²-y²+2xy*dy/dx = 0 |*dx
(x²-y²)dx + 2xy dy = 0
Diese Dgl. lässt sich exakt machen, denn
(¶P/¶y - ¶Q/¶x )/P = (-2y -2y )/(2xy) = -4y/(2xy) = -2/x ist nur von x abhängig, wenn allgemein gilt:
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0
Daher muss ein integrierender Faktor M(x) existieren, der diese Dgl. erfüllt:
M*(¶P/¶y - ¶Q/¶x) = Q ¶M/¶x, also hier:
M*(-2/x) = ¶M/¶x , Separation:
-2¶x/x = ¶M/M
und Integration:
-2ln|x| + ç = ln|M| |exp(..)
k/x² = M
Also ist M(x) = 1/x² ein integrierender Faktor, mit dem die erste Dgl multipliziert werden kann:
(x²-y²)dx + 2xy dy = 0 |*1/x²
(1-y²/x²)dx + 2y/x dy = 0
Dies ist eine exakte DGl., d.h. auf der linken Seite steht ein totales Differential.
Integration der beiden Summanden ergibt:
int(1-y²/x²)dx = x +y²/x + c(y)
int(2y/x)dy = y²/x + c(x)
Vergleich der beiden Stammfunktionen liefert Bedingungen für die "Konstanten" c(x) und c(y):
c(y)=0, c(x) = x
Also ergibt die vollständige Integration des Differentials
(1-y²/x²)dx + 2y/x dy = 0
x +y²/x = c
y²/x = c-x
y² = x*(c-x), was dieselbe Lösung liefert wie bei Oliver :-) |
Gorn
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 16:10: |
|
.. hrgrm.. dass ihr
(war: dass du) |
Marulla (Marulla)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 16:51: |
|
Ich habe es noch einmal nachgerechnet und verstehe es einigermaßen.Ich hätte es nicht gedacht dass die DGL so kompliziert ist,hm. Besten Dank für die ausführlichen Lösungen.
MfG
Marulla |
|
