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F konstant oder...

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Margot (Mecki)
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Veröffentlicht am Samstag, den 02. Februar, 2002 - 21:29:   Beitrag drucken

Hallo
Kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen??

a) Die Funktion f: R-> R sei differenzierbar, und es gelte f ° f = f.
Zeigen Sie Entweder ist f konstant oder es gilt f(x)= x für alle x aus R
b) Gilt die Behauptung a) auch für alle stetigen f: R-> R mit f ° f = f ???
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Friedrich Laher (Friedrichlaher)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 11:00:   Beitrag drucken

das Symbol ° in f ° f = f ist etwas
schwer
leserlich, ich nehme mal an, es ist die

Verkettung gemeint,
also
f(f(x)) = f(x)

nun differentiere, links nach der Kettenregel

f'(f(x)) * f'(x) = f'(x); | : f'(x)
f'(f(x)) = 1 oder aber f'(x) = 0, also f(x) konstant

für f(x) = x gilt

f'(f(x)) = f'(x) = x/dx = 1

womit beides bewiesen ist.
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Friedrich Laher (Friedrichlaher)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 12:42:   Beitrag drucken

vorrvorletzte Zeile liess fuer f(x)=1 gilt
zu b)
gilt nicht; z.B. nicht fuer abs(abs(x)) = abs(x)

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