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MadMatrix
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Februar, 2002 - 13:01: | 
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Ich hab' hier folgende Aufgabe, und irgendwie
versagt da meine vorstellungskraft.
Sei E ein Ellipsoid im R³ mit Halbachsen a > b > c > 0.
Man zeige, dass es zwei Scharen paralleler Ebenen gibt, die das Ellipsoid in Kreisen schneiden.
Das sieht soweit noch einfach aus, aber da die Halbachsen alle verschieden sind, hab ich keine Ahnung, wie die Schnittebenen verlaufen sollen, damit Kreise als Schnitte entstehen.
Wäre wirklich dankbar für eine Inspiration, muss das nämlich bis Montag gelöst haben, weiss aber nicht wie?!? |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Februar, 2002 - 23:16: |
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Hi MadMatrix ,
Existenz von Kreisschnitten beim dreiachsigen Ellipsoid
x^2 / a^2 + y^2 / b^2 + z^2 / c^2 =1
Für die Halbachsen a , b , c gelte o.B.d.A. :
c < a < b ; a auf der x-Achse ist die “mittlere” Halbachse.
Die Fläche wird von allen Ebenen ,welche durch diese mittlere
Achse gelegt werden, in Ellipsen geschnitten ,deren eine
Halbachse konstant und gleich a ist, während die
andere u zwischen der kleinsten Halbachse c und der grössten
Halbachse b des Ellipsoids liegt
Drehe ich nun die Schnittebene um die x-Achse so, dass die
zweite Halbachse von c an wächst, so gibt es eine Lage,
bei welcher u mit dem Wert a übereinstimmt
Resultat: die Schnittellipse ist ein Kreis mit a als Radius.
Diesen Gedanken werde ich morgen früh aufnehmen und ihn auch
rechnerisch realisieren.
Zum Schluss noch dies :
Wegen der Symmetrie des Ellipsoids ergibt sich bei der Spiegelung
an der (x,z)- Ebene noch eine zweite Ebene durch die x-Achse,
welche mit dem Ellipsoid einen Kreisschnitt erzeugt.
Weiter
Die Parallelebenenscharen zu diesen beiden kreiserzeugenden
Diametralebenen erzeugen ebenfalls Kreisschnitte.
Die zu den Diametralebenen parallelen Tangentialebenen
berühren das Ellipsoid in den so genannten
Kreispunkten oder Nabelpunkten
Ein dreiachsiges Ellipsoid (verschiedene Halbachsen)
besitzt somit 4 Nabelpunkte.
Ein solcher Nabelpunkt (Umbilicus) hat besondere
differentialgeometrische Eigenschaften bezüglich der
Krümmung, auf die ich nicht näher eingehen kann.
Bis dann
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 08:12: |
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Hi BadMatrix,
Jetzt kommt die Rechenkunst zum Zug !
Um die Idee zu fixieren, bearbeiten wir ein numerisches Beispiel.
Gegeben sei das Ellipsoid mit der Gleichung
x^2 / 25 + 7 * y ^ 2 / 256 + z ^ 2 / 16 = 1, die Halbachsen sind :
a = 5 , b = 16 / wurzel(7) = 6,05 , c = 4
Wiederum ist a die mittlere Halbachse.
Wir suchen eine Ebene E, welche durch die x-Achse geht und das Ellipsoid
in einem Kreis vom Radius R = a = 5 schneidet.
Es genügt , die Gleichung einer solchen Ebene E1 zu finden;
die andere Diametralebene E2 ergibt sich daraus durch Spiegelung an der
(x,z)-Ebene.
Von E1 ermitteln wir zunächst die Schnittgerade s (Spur) in der (y,z)-Ebene
Daher verlegen wir unsere Tätigkeit ganz in diese Koordinatenebene
(Aufrissebene).
Die Gleichung dieser Ebene lautet x = 0 .
Setzen wir in der Gleichung des Ellipsoids x = 0, so entsteht die Schnittellipse
des Ellipsoids mit der (y,z) – Ebene; wir bezeichnen diese Kurve mit e .
Die Gleichung von e lautet:
7 * y ^ 2 / 256 + z ^ 2 / 16 = 1.................................................................................(I)
Jetzt zur Hauptsache:
Wir suchen auf e einen Punkt K(y/z) so, dass sein Abstand vom Mittelpunkt O
der Ellipse e gerade mit dem Radius R = a = 5 übereinstimmt.
Die gesuchte Ebene E1 ist dann durch den Punkt K und die x-Achse bestimmt.
Die Abstandsbedingung lautet
KO = 5 ; durch quadrieren entsteht:
y ^ 2 + z ^ 2 = 25....................................................................................................(II)
Wir lösen das Gleichungssystem (I),(II) nach y , z auf und berücksichtigen
nur positive Lösungen;
Resultat : y = 4 , z = 3 , somit K( 4/3 )
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Die Gerade s durch O und K hat als Ursprungsgerade die Gleichung
z = ¾ * y oder bruchfrei :
3 y – 4 z = 0..............................................................................................................(III)
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Da die Ebene durch s geht und senkrecht zur (y-z) -Ebene steht,
ist die zuletzt angeschriebene Gleichung (III) gleichzeitig die Gleichung der
gesuchten Ebene E1, welche das Ellipsoid in einem Kreis vom
Radius R = 5 schneidet.
Die Aufgabe ist damit gelöst.
Zum Abschluss und zur Kontrolle ermitteln wir willkürlich
einen Punkt P(u/v/w), der sowohl auf dem Ellipsoid als auch
auf der Ebene E1 und damit auf dem Schnittkreis liegt; für
den Abstand d dieses Punktes vom Nullpunkt muss , wenn alles
mit rechten Dingen zugeht , gelten:
d = 5.
Wir wählen y = v = 2 ; aus der Ebenengleichung folgt z = w = 3 / 2
Für x = u erhalten wir aus der Gleichung des Ellipsoids die Gleichung
4096 * x^2 + 11200 + 14400 = 102400
daraus x ^ 2 = 75 / 4 , x = 5/2* wurzel (3)
Nun berechnen wir d^2 = u^2 + v^2 + w^2 ;
Wir erhalten d ^ 2 = 25 = R ^ 2 ,wie zu erwarten war !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
MadMatrix
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 10:27: |
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Vielen Dank, ich glaub, ich wäre ansonsten an dieser aufgabe verzweifelt. |
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