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Beweis mit Hilfe der vollständigen In...

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Antonia
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Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 17:02:   Beitrag drucken

Hallo!
Ich bin total aufgeschmissen. Seit fünf Jahren nicht mehr in der Schule und jetzt brauche ich Mathe für`s fernstudium.
Ich soll mit Hilfe der vollständigen Induktion folgendes beweisen:
a)1^2+^3^2+....+(2n+1)^2=(n*(2n+1)*(2n-1))/3
für alle natürlichen Zahlen n;
b) n*Wurzel(n)>n+Wurzel(n) für alle natürlichen Zahlen n>2

Schon mal danke
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Marty (Marty)
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Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 20:10:   Beitrag drucken

Hallo Antonia,

Also, a) stimmt so sicher nicht, wie man durch Einsetzen von z.B. n=1 leicht erkennt. Ich schätze, die richtige Angabe lautet:
1²+3²+....+(2n-1)²=(n*(2n+1)*(2n-1))/3

Für n=1 ergibt sich dann 1=1;

für n+1 ergibt sich (einfach statt n einsetzen):

1²+3²+....+(2n-1)²+(2n+1)²=(n+1)*(2n+3)*(2n+1))/3

Wir setzen die Voraussetzung (also die Gleichung der Angabe) auf der linken Seite ein:

(n*(2n+1)*(2n-1))/3 +(2n+1)²=(n+1)*(2n+3)*(2n+1))/3

Wenn du jetzt noch die Gleichung mit drei multiplizierst und alles ausquadrierst, erhältst du:

4n³ + 12n² + 11n + 3 = (n*(2n+1)*(2n-1))/3 q.e.d.

Nachdem du das Prinzip nun kennst, sollte b) lösbar sein... hab im Moment keine Lust dazu, um ehrlich zu sein. Vielleicht probier ichs später.

Hoffe, ich konnte dir helfen,
lg,
MARTIN
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Marty (Marty)
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Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 20:11:   Beitrag drucken

Hallo Antonia,

Also, a) stimmt so sicher nicht, wie man durch Einsetzen von z.B. n=1 leicht erkennt. Ich schätze, die richtige Angabe lautet:
1²+3²+....+(2n-1)²=(n*(2n+1)*(2n-1))/3

Für n=1 ergibt sich dann 1=1;

für n+1 ergibt sich (einfach statt n einsetzen):

1²+3²+....+(2n-1)²+(2n+1)²=(n+1)*(2n+3)*(2n+1))/3

Wir setzen die Voraussetzung (also die Gleichung der Angabe) auf der linken Seite ein:

(n*(2n+1)*(2n-1))/3 +(2n+1)²=(n+1)*(2n+3)*(2n+1))/3

Wenn du jetzt noch die Gleichung mit drei multiplizierst und alles ausmultiplizierst, erhältst du:

4n³ + 12n² + 11n + 3 = 4n³ + 12n² + 11n + 3 q.e.d.

Nachdem du das Prinzip nun kennst, sollte b) lösbar sein... hab im Moment keine Lust dazu, um ehrlich zu sein. Vielleicht probier ichs später.

Hoffe, ich konnte dir helfen,
lg,
MARTIN
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Marty (Marty)
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Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 20:14:   Beitrag drucken

Das zweite gilt... hab mich beim ersten Posting verkopiert und vertippt...
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Biff Tannen
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Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 21:48:   Beitrag drucken

die b) ist hier schonmal gestellt worden:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4244/11872.html
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Antonia
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Veröffentlicht am Samstag, den 02. Februar, 2002 - 12:30:   Beitrag drucken

Hi Marty!
Vielen Dank für deine Mühe;-) war mir eine große Hilfe!!!!
Und Biff Tannen, danke für deinen Hinweis!

Ciao

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