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Beitrag |
    
Mathi
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 11:58: | 
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Moin moin Leute,
ich hab hier ein supertolles Integral an dem ich mir schon stundenlang den Kopf zerbrochen hab:
f(x)=x*wurzel(x^3+1)
Danke schonmal an alle klugen Köpfe |
Friedrich Laher (Friedrichlaher)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 17:20: |
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tja, mein Computeralgebrasystem streikt da,
und
Mathematika ( z.B. von
OnlineMathematica
gibt einen sehr langen Ausdruck aus der eine sogenannte "Elliptische Funktion" enthält |
Friedrich Laher (Friedrichlaher)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 19:00: |
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(die Eingabe für Mathematica muss
Integrate[x*Sqrt[x^3+1],x] lauten,
Gross und Kleinbuchstaben werden unterschieden;
wenn Kein "Ausführen" Button zu sehen ist
die TABtast bestätigen bis er zu sehen ist
) |
Marty (Marty)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 19:15: |
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Ich habs grad durchprobiert, ist eigentlich gar nicht so schwer. Aber recht viel Schreibarbeit, deshalb geb ich dir nur den Lösungsweg, das schaffst du dann auch selbst:
1. x² in die Wurzel bringen:
x*wurzel(x^3+1) = Wurzel (x^5+x^2)
2. partiell integrieren mit u´=1 und v´=Wurzel (x^5+x^2)
3. Substituieren mit u=Wurzel (x^5+x^2)
Hoffe, du hast jetzt keine Probleme mehr!
Lg,
MARTY |
Marty (Marty)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 19:19: |
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Puh, habs grad mit Matematica angeschaut und zweifle jetzt etwas an meiner Lösung... bei mir gehts so einfach und eigentlich kein besonders langer Ausdruck, ohne jede Winkelfunktion... Vielleicht probiert mal wer meinen Lösungsweg aus und sagt mir, was er davon hält |
Biff Tannen
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 21:45: |
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Hi Marty, die partielle Integration ergibt bei mir:
ò 1 * Ö(x5+x²) dx = [x*Ö(x5+x²)] - I
mit I = ò x*(5x4 + 2x) / ( 2Ö(x5+x²) ) dx
aber mit der Substitution u=Ö(x5+x²) und (5x4+2x)dx = 2u du kommt man nicht weiter:
I = "ò x*2udu/u"
= "ò 2x du"
man bekommt das x nicht substituiert und u=Wurzel (x^5+x^2) nach x aufzulösen wird meiner Einschätzung nach keinen Zweck haben, weil es das Integral nicht gerade vereinfacht. |
Biff Tannen
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 22:01: |
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sorry im Nenner habe ich vergessen, noch eine 2 mitzuschreiben, die sich mit der mitgeschriebenen herauskürzt, so dass
ò x du übrigbleibt. |
Marty (Marty)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Februar, 2002 - 14:15: |
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Tut mir leid, hab grad meinen Fehler eingesehen... peinlich, hab mir ein x für ein u vormachen lassen ;-) |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Februar, 2002 - 17:43: |
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Hi allerseits,
Da Integrale der vorgelegten Art nicht elementar gelöst
werden können, erübrigt sich eine Suche nach Lösungsmethoden
herkömmlicher Art, allenfalls wird man das Integral auf Standardformen
bringen und elliptische Integrale benützen.
Im vorliegenden Fall zeige ich die Methode der Reihenentwicklung
an einem etwas einfacheren Fall und komme am Schluss auf das gegebene
Integral zurück.
Wir nehmen an, es gehe darum, einen Näherungswerte für das bestimmte
Integral
J = int [1 / wurzel(1 + x ^ 3) * dx ],untere Grenze a = ½ , obere Grenze b = 4
näherungsweise zu ermitteln.
Dabei sind die Grenzen absichtlich so gewählt, dass der kritische Wert für
die binomische Entwicklung, nämlich der Wert x = 1, ein innerer Punkt
des Integrationsintervalls ist.
Hier ist Maple nicht verlegen und liefert mittels elliptischer Funktionen
den Näherungswert
z = 1,312895...
Wir wählen die Methode der Reihenentwicklung und versuchen dabei,
mit ein paar wenigen Summanden in die Nähe dieses Wertes zu kommen ,
Toleranz 2%.
Mit Hilfe der binomischen Reihe setzen wir
f(x) =1 / wurzel (1 + x ^3) = 1-1/2*x^3 +1/2*3/4*x^6 –1/2*3/4*5/6*x^9 +....
gültig für –1 < x < 1.
Mit Hilfe dieser Entwicklung berechnen wir die Teilintegrale
J1 = int [1 / wurzel(1 + x ^ 3) * dx ],untere Grenze ½ , obere Grenze 1
und
J2 = int [1 / wurzel(1 + x ^ 3) * dx ],untere Grenze 1 , obere Grenze 4
Wir beabsichtigen, die Reihe gliedweise zu integrieren und sodann die
Grenzen einzusetzen. Dabei sind jedoch besondere Ueberlegungen
bezüglich der Konvergenz anzustellen.
Zu J1
Als obere Grenze wird zunächst 1-h eingesetzt und der Grenzübergang h gegen null ausgeführt.
Eine nähere Untersuchung führt dank der Konvergenz zum Resultat:
J1 = 1-1/(2*4) +(1*3)/(2*4*7) – (1*3*5)/(2*4*6*10)+ - ..………………
-1/2 + 1 / (2*4*2^4) – (1*3) / (2*4*7*2^7) + (1*3*5) / (2*4*6*10*2^10) - +..........=
1/2-1/(2*4*) *15/16+(1*3 /(2*4*7) *127/128 - (1*3*5) /(2*4*6*10)*1023/1024 +-.....
Die angeschriebenen 4 Summanden geben für J1 die Näherung
N1= 92839 / 229376 = 0,4047459194
Zu J2
Da in der oben angeschriebenen binomischen Reihe x nicht grösser als eins
sein darf, müssen wir uns mit einem Trick behelfen.
Wir entwickeln (a+b)^m für abs ( b ) > abs (a) so:
(a+b)^m = b^m*[1+a/b]^m =
b^m* [1 + c(m,1)*a / b + c(m,2)* (a / b)^2 + c(m,3)*(a / b)^3 +………..
dabei sind die c(m,k) Binomialkoeffizienten.
Nun setzen wir a = 1, b = x ^3 ; für x > 1 gilt somit b > a
und die konvergente Reihe lautet für m = - ½:
[1 / wurzel(1 + x ^ 3) = 1 / wurzel(x^3) - 1/2* 1 /wurzel(x^9)
+(1*3)/(2*4) * 1 / wurzel(x^15) - (1*3*5)/(2*4*6)* 1 / wurzel(x^21) -.....
Diese Reihe konvergiert gleichmässig für x >1;
wir dürfen gliedweise integrieren.
Als untere Grenze setzen wir 4, als untere Grenze1+h .
Wenn wir h gegen null gehen lassen ,erkennen wir wiederum Konvergenz
Für das Integral J2 erhalten wir schliesslich die Entwicklung:
J2 = -[1-1/2*1/(7*4^3)+(1*3)/(2*4)*1/(13*4^6)-
(1*3*5)/(2*4*6)*1/(19*4^9)+-.....
+2*[1-1/(2*7)+(1*3)/(2*4*13)-(1*3*5)/(2*4*6*19)+-..........]
=2*[1/2-1/(2*7)*(2^7-1)/2^7+(1*3)/(2*4*13)*(2^13-1)/2^13-
(1*3*5)/(2*4*6*19)*(2^19-1)/2^19+....................]
Die angeschriebenen 4 Summanden geben für J2 die Näherung
N2= 6403832391/751951616 = 0,8830495196
Damit erhalten wirfür das Integral J die Näherung:
s =9339030215/7251951616=1,287795439
Relative Abweichung von z:
f = ( z – s ) / z = 0,019 (1,9%)
Die Näherung z liegt innerhalb der Toleranzgrenze, die wir uns
gesetzt haben.
Was hat das alles mit dem ursprünglich gegebenen Integral
K = int [x* wurzel(1 + x ^ 3) * dx ] zu tun ?
Erste Schritte der Umformung führen auf
K = 2 / 7 * x ^ 2*wurzel(1 + x ^ 3) +3/7* int [x / wurzel(1 + x ^ 3) * dx ].
Das letzte Integral kann auf eine analoge Art behandelt werden
wie das soeben ausführlich besprochene Integral.
Viel Vergnügen und Ausdauer wünscht
H.R.Moser,megamath |
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