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shorty
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Januar, 2002 - 19:09: | 
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hallo
ich habe folgendes Problem,
Gegeben sind die Ebenen E1: 2x-y+2z=4 und E2: y-z+2=0
Gesucht
a)der Winkel zwischen den beiden Ebenen
Geht das über die Normalenvektoren, wenn ja wie?
b)die Gleichung der Ebene E3 durch den Punkt
P(3,2,1),die auf E1 und E2 senkrecht steht.
hier fehlt mir der Ansatz
c)der kleinste Abstand der Ebene E3 vom
Koordinatenursprung
shorty |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Januar, 2002 - 19:10: |
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Hi shorty,
Wir lesen aus den Gleichungen der Ebenen E1 und E2 ihre
Normalenvektoren n1 und n2 ab:
n1 = vektor {2;-1;2},
n2 = vektor {0;1;.1} .
a)
der Winkel phi der beiden Ebenen ist zum Winkel psi der Vektoren
n1, n2 supplementär, d. h . phi +psi = 180° .
Mit dem Skalarprodukt n1.n2 der Vektoren n1,n2 berechnen wir cos (psi):
cos(psi) = n1.n2 /[abs(n1) * abs(n2)]
In Nenner steht das Produkt der Absolutbeträge der beiden Vektoren.
Es kommt:
cos(psi) = (-1-2 ) / [wurzel(9 )*wurzel(2) ] = - 1 / wurzel(2), also psi = 135°,
daraus phi = 45°
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b)
Die gesuchte Ebene E steht senkrecht zur Schnittgeraden s der Ebenen
E1 und E2 .
Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) v = n1 x n2 der Ebenenormalen n1,n2
aus a) ergibt einen Richtungsvektor von s.
Dieser ist dann ein noralenvektor von E.
Man berechnet leicht v = {-1;2;2};somit lautet eine Gleichung von E
im Ansatz:
- x + 2y +2z = d ; da E durch P(3/2/1) geht, findet man für d den Wert 3.
- x + 2y +2z = 3 ist eine Koordinatengleichung von E .
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c)
Gleichung von E in der Hesseschen Normalform
( - x + 2y +2z -3 ) / wurzel(1^2 +2^2 +2^2 ) = 0 oder
( - x + 2y +2z -3 ) / 3 = 0
Setzt man an Stelle von x , y ,z die Koordinaten x = y = z = 0
des Nullpunktes ein, so erhält man als Abstand a:
a = - 3 / 3 = - 1
Absolutbetrag abs(a) = 1
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