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Eulersche Phi-Funktion

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Stefan
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Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Januar, 2002 - 09:21:   Beitrag drucken

Hallo, wie kann ich zeigen, daß
phi(n)<=n-sqrt(n) für n>1 ?
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Rudolf
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Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Januar, 2002 - 12:18:   Beitrag drucken

Hallo!
Wenn n = m2 ist, dann ist das leicht zu zeigen:
phi(m) £ m-1
m*phi(m) = phi(m2) £ m(m-1) = m2-m
phi(n) £ n-sqrt(n)
Vielleicht hilft dir das weiter.
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Rudolf
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Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Januar, 2002 - 12:58:   Beitrag drucken

Hallo!

Mir fällt gerade auf, dass die Behauptung nicht nür alle n>1 gilt!
z.B.:
phi(7) = 6
7 - sqrt(7) < 6 !
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Rudolf
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Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Januar, 2002 - 15:26:   Beitrag drucken

Und noch einmal:
Ist jedoch n keine Primzahl, dann gilt die Behauptung schon:
Jede zusammengesetzte Zahl besitzt mindestens einen Primfaktor p £ sqrt(n).
Sei Fp(n) die Anzahl der natürlichen Zahlen <n, welche nicht durch p teilbar sind, dann gilt:
Fp(n) ³ F(n)
Fp(n) = n*(p-1)/p
n/p ³ sqrt(n)
F(n) £ n-n/p £ n-sqrt(n)

Gruß, Rudolf

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