| Autor |
Beitrag |
    
Barbara (Nell)
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Januar, 2002 - 20:58: | 
|
Hallo
Ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:
( S = Summe)
a) Für welche a konvergiert
S n=0 bis oo [ 1 / (n* (log n)^a)] ?
b) Konvergiert die Reihe
S n=2 bis oo [ 1 / (n^2 (n-te Wurzel n) –1))] ???? |
clemens
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Januar, 2002 - 01:27: |
|
zu a): n muß von 1 weggehen, sonst ist das Glied nicht definiert. Nimm den Cauchy'sche Verdichtungsatz: Eine Reihe
S[n=1,oo]a(n)
konvergiert genau dann wenn die Reihe
S[n=1,oo]2^k a(2^k) konvergiert.
Du mußt also jetzt die Konvergenz von
(log2)^a * S[n=1,oo]1/(2^((a-1)k)k^a) untersuchen.
Für a<=1 sieht man schnell die Divergenz (harmonische Reihe)
Für a>1 kann man den Ausdruck nach oben mit 1/k^a abschätzen und bekommt so über das Minorandenkriterium die Konvergenz der ursprünglichen Reihe. |
Orion (Orion)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Januar, 2002 - 05:50: |
|
Barbara :
a) Die untere Summationgrenze muss natürlich 2
heissen.Für a =< 0 ist es klar, dass Divergenz vorliegt. Für a > 0 kann man das Cauchy-Integralkriterium anwenden, denn die Funktion f(x):=1/(x*(ln(x)^a) ist stetig,positiv
und monoton fallend.Die Reihe konvergiert genau
dann, wenn das uneigentliche Integral
int[2..oo]f(x)dx = int[ln(2)..oo]u^(-a)du
konvergiert.
b) Sollte der n-te Summand
a(n) = 1/[n^2*(n^(1/n) - 1)]
heissen ?
mfg
Orion |
Barbara (Nell)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Januar, 2002 - 09:21: |
|
Ersteinmal Vielen Dank für die Hilfe.
Du hast natürlich recht Orion, die erste Summe beginnt mit n=2.
Auch der n-te Summand in b sollte eigentlich so wie dein a(n) aussehen.
Barbara |
|
