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Beitrag |
    
Peter Falk (columbooo123)
Junior Mitglied
Benutzername: columbooo123
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. März, 2003 - 13:03: | 
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Hallo!
Ich habe folgendes Beispiel gerechnet:
Summe von k=1 bis unendlich
[(-1)^(n+1) * (3^2n) / (n*(n+1))]
Wie rechnet man mit dem Leibnitz Kriterium?
an+1 <= an
und es muss gegen Null streben, aber wie errechnet man das?
Die Lösung: Die Reihe ist divergent.
Danke im voraus.
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Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 418
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. März, 2003 - 13:14: |
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Hallo Peter
bei alternierenden Folgen muß gelten:
|an+1| <= |an|, weiters muß es sich um eine Nullfolge handeln;
damit die dazugehörende alternierende Reihe konvergiert;
was aber bei Deiner nicht gilt;
warum:
Du kannst (n+1) kürzen, aber 3^2n im Zähler wächst exponentiell und n im Nenner linear=> sicher keine Nullfolge
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1034
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. März, 2003 - 13:17: |
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Hi Peter
Die Folge
an:=32n/(n*(n+1)) konvergiert doch gar nicht gegen 0, dann kannst du auch das Leibnitzkriterium nicht anwenden!
Beweis:
a1=4,5
Außerdem ist die Folge monoton wachsend, denn
an+1/an=3²*(1+2/n)>1
MfG
C. Schmidt |
Peter Falk (columbooo123)
Junior Mitglied
Benutzername: columbooo123
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. März, 2003 - 16:21: |
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Hallo!
Danke für die schnellen Antworten.
Ja, aber wenn nicht das Leibnitz-Kriterium anzuwenden ist, was denn dann?
Grüße,Peter |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1041
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. März, 2003 - 16:58: |
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Hi Peter
Ich würde das mit dem Cauchy-Konvergenzkriterium machen.
Die Reihe Soo n=1 an konvergiert genau dann, wenn gilt:
Zu jedem e>0 existiert ein N aus N, so dass
|Sn k=m ak|<e für alle n³m³N.
Wir untersuchen jetzt mal bei dir zwei aufeinander folgende Folgenglieder, wobei wir o.B.d.A annehmen, dass m ungerade ist. n setzen wir m+1, also müssen wir die Summe
|Sm+1 k=m ak| berechnen.
|32m/(m*(m+1))-32m+2/((m+1)(m+2))|
=|[(m+2)32m-m*32m+2]/[m*(m+1)*(m+2)]|
=|(2-8m)*32m/[m*(m+1)*(m+2)]|
Strebt m gegen unendlich, so strebt auch der ganze Betrag gegen unendlich, weil im Zähler immer noch die 32m stehen.
Also wird der Abstand zwischen 2 aufeinander folgenden Folgengliedern immer größer und damit kann das Cauchysche Konvergenzkriterium nie erfüllt sein und die Reihe divergiert.
MfG
C. Schmidt |
