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Columbo (columbo123)
Neues Mitglied
Benutzername: columbo123
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. März, 2003 - 14:11: | 
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Hallo alle zusammen!
Ich hätte eine Reihe, die man auf Konvergenz untersuchen soll:}
Summe von n=0 bis unendlich:
[((n!)^2) / ((2n)!)] * (3^n)
Die Lösung soll konvergent sein.
Ich weiss dass man hier das Quotientenkriterium nehmen soll.
Ich bleib aber in der Mitte hängen. Kann mir irgendjemand sagen, wie die einzelnen Schritte ausschauen.
Danke. |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 991
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. März, 2003 - 14:52: |
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Hi Columbo
Die Beträge können wir weglassen, weil eh alle Werte positiv sind. Wir berechnen mal den Quotienten
an+1/an=((n+1)!)²*3n+1*(2n)!/((2n+2)!*3n*(n!)²)
=(n+1)²*3/((2n+1)(2n+2))
=(3n²+6n+3)/(4n²+5n+2)
Betrachten wir den Term mal als eigenständige Folge, so stellen wir fest, dass sie monoton fallend ist für n³2. Also folgt mit n=2 eingesetzt:
an+1/an£27/28:=q
für n³2 mit 0<q<1.
Also konvergiert deine Reihe.
MfG
C. Schmidt |
Peter Falk (columbooo123)
Neues Mitglied
Benutzername: columbooo123
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. März, 2003 - 15:20: |
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Danke, Christian Schmidt, echt super, dass du so schnell geantwortet hast, nur eine Frage noch:
Wie hast du das alles weggekürzt, und woher kommt (2n+1)(2n+2)?
Danke im voraus. |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 995
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. März, 2003 - 15:34: |
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Hi Peter
Ich schreib jetzt alles einzeln auf, wo ich gekürzt habe:
1. ((n+1)!)²/(n!)²
=(n+1)²*(n!)²/(n!)²
=(n+1)²
2. 3n+1/3n=3
3. (2n)!/(2n+2)!
=(2n)!/((2n+2)(2n+1)*(2n)!)
=1/((2n+2)(2n+1))
MfG
C. Schmidt |
Peter Falk (columbooo123)
Neues Mitglied
Benutzername: columbooo123
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. März, 2003 - 11:22: |
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Vielen Dank nochmal!! |
