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Beitrag |
    
Walnut (walnut)
Junior Mitglied
Benutzername: walnut
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. März, 2003 - 16:05: | 
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geg:
y1'=4*y1-2*y3
y2'=y1+3*y2-2*y3
y3'=y1+2*y2-y3
mit den Anfangsbedingungen y1(0)=y2(0)=1,y3(0)=2
gesucht ist die Lösung des Systems, durch Lösung des zugehörigen entkoppelten Systems und Rücktransformation in den y - Raum
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Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 506
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. März, 2003 - 07:53: |
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Walnut,
Das System ist von der Art (in Matrixform)
(1) y' = Ay
wobei A eine quadratische (n,n)-Matrix ist
(hier: n=3), und y = (y1,...,yn). Hat A n
Eigenwerte (EW) l1,...ln mit den
n linear unabhängigen Eigenvektoren uk =
(u1k,...unk)t, i=1,...,n, also
Auk = lkuk , k=1,...,n.
so gilt, wenn man uk als k-te Spalte der Matrix
U auffasst:
AU = U*D
mit D := diag(l1,...,ln),
d.h.
A = U*D*U-1.
Setzt man also
(2) y = Uz
so lautet (1)
z' = Dz
mit der allgemeinen Lösung
zk(x) = Ck*exp(lkx), k=1,...,n
Gemäss (2) ergibt sich dann als allg.Lösung von (1)
y(x) = Sn k=1Ck*exp(lkx)*uk
wie man unmittelbar durch Ableiten verifiziert.
Soweit die Theorie. Rechne nun selbst nach, dass
U = ([1,2,1],[1,1,1],[3/2,1,1]) , D = diag(1,3,2).
Die Konstanten Ck sind durch die Anfangsbedingungen bestimmt (lineares Gleichungssystem !)
mfG Orion
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Walnut (walnut)
Mitglied
Benutzername: walnut
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. März, 2003 - 20:58: |
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Hallo Orion,
ich danke dir für die Mühen.
Nach einer guten Stunde des Versuchens muss ich passen. Was du als Theorie schreibst, steht so in etwa in meinem Hefter.
Das zu verstehen gelingt mir nur anHand eines Beispiels.
Ich erhalte bei den Eigenwerten zB eine Gleichung in der diese Werte nicht passen. Natürlich ein Fehler, aber das hilft mir nicht wirklich dabei das Thema nachvollziehen zu können.
Ich möchte dich daher bitten, wenns die Zeit zuläßt, die Lösung schrittweise darzustellen, also wie du genau auf die Lösung kommst.
Gruß
Wal.
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Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 507
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. März, 2003 - 21:53: |
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Wal,
Die Matrix des Systems lautet (lies zeilenweise):
A = ([4,0,-2],[1,3,-2],[1,2,-1])
Zur Bestimmung der EW berechnet man das
charakteristische Polynom
f(l):= det(A-lE)
= l3-6l2+11l-6
Eine Nullstelle l1=1 errät man
durch "scharfes Hinsehen" und kann dann
den Faktor (l-1) abspalten. Es bleibt
eine quadratische Gleichung in l .
Man gewinnt so insgesamt die folgenden EW:
l1=1,l2=3, l3=2
Für jedes lk löst man nun das
homogene lineare Gleichungssystem
(A-lkE)u = 0
Der zugehörige (bis auf Skalarfaktoren
eindeutig bestimmte) Lösungsvektor uk
ist EV zum EW lk. Man rechnet
aus (Schulalgebra genügt !)
u1 = (1,1,3/2)t,
u2 = (2,1,1)t, u3=(1,1,1)t
(t bedeutet: transponiert, also Spaltenvektor).
Die allgemeine Lösung des Dgl.-Systems
lautet somit gemäss obiger Theorie
y= C1exu1
+C2e3xu2+C3e2xu3.
Einsetzprobe wird empfohlen !
mfG Orion
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