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Ines
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Januar, 2002 - 13:36: | 
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Hallo.
Bitte helft mir!
Sei f:[a,b]->R stetig,
f(x)>=0 für x aus [a,b],
M:=maxa<=x<=bf(x).
Dann gilt:
(òa b f(x)p dx)1/p -> M für p -> oo
Vielen Dank.
Ines |
Orion (Orion)
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Januar, 2002 - 16:26: |
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Ines :
Setze zur Abkürzung
{int[a..b](f(x)^p)dx)}^(1/p) =: J(p)
Dann ist zunächst
J(p) =< (b-a)^(1/p)*M.
Wenn f konstant ist, ist nichts zu beweisen.
Andernfalls fixieren wir eine Zahl h mit 0<h<M.
Weil M das Maximum der stetigen Funktion f ist,
gibt es x_0 in [a,b] mit f(x_0) > M-h, und daher
eine Umgebung (x_0 - d, x_0 + d) von x_0, in
welcher f(x) > M-h ist. Also gilt
J(p) > {int[x_0-d..x_0+d]f(x)^p dx)}^(1/p)
> (2d)^(1/p)*(M-h).
Insgesamt haben wir also
(2d)^(1/p)*(M-h) < J(p) =< (b-a)^(1/p)*M.
Lassen wir hierin (bei festem p) h->0 gehen, so folgt
(2d)^(1/p)*M =< J(p) =< (b-a)^(1/p)*M.
Unter Beachtung von lim[p->oo]c^(1/p) = 1 für c>0
gehen wir schliesslich mit p gegen oo, und sind
am Ziel.
mfg
Orion |
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