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Walnut (walnut)
Junior Mitglied
Benutzername: walnut
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Februar, 2003 - 13:44: | 
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ein weiteres Verständnisproblem
Der Vektor b hat den bezüglich der Basis ,a1,a2,a3 , des R³ ie Darstellung
b = (2,2,1)^T
a) Beweisen Sie, dass auch die Vektoren
b1 = a1 - a3,
b2 = a1 + a2,
b3 = a1 - a2 + a3 eine Basis des R³ bilden
b) Berechnen Sie die Koordinaten von b bezüglich der neuen Basis b1, b2, b3
meine lösung
als Basis der Koordinatenursprung
von der Basis ist der Abstand zu dem
Vektor b
entprechend
a1 = 2 bzw 2,0,0
a2 = 2 bzw 0,2,0
a3 = 1 bzw 0,0,1
b1 = a1 - a3 wäre 2, 0,-1
b2 = a1 + a2 2, 2, 0
b3 = a1 - a2 + a3 2,-2, 1
Wie weise ich nach, das diese Vektoren eine Basis im R³ bilden. Nachgelesen habe ich , dass drei unabhängige Vektoren eine Basis bilden.
für b) würde ich nach dem bisherigen Weg davon ausgehen, dass ich drei unterschiedliche Punkte habe und daher unterschiedliche Lösungen haben muss.
Spätestens an dem Punkt kam mir der Gedanke, dass ich falsch liege, denn die Basis kann m.E. nur eine Stelle sein. daher kann ich nicht mit drei Vektoren b1 - b3.
Ich hoffe wieder auf Hilfe.
Gruß
Wal.}
jetzt kommt mr gerade die Idee
b1 = a1 - a3 wäre 2-1 = 1
b2 = a1 + a2 2+2 = 4
b3 = a1 - a2 + a3 2-2+1= 1
daraus folgt b liegt bezüglich der Basis b1,b2,b3
2 - 1 = 1
2 - 4 = -2
1 - 1 = 0
ist das richtig ?? |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 966
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Februar, 2003 - 21:13: |
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Hi!
Erstmal zum ersten Teil. Drei Vektoren sind linear unabhängig, falls aus
x*a1+y*a2+z*a3=0
folgt, dass x=y=z=0 gilt.
Die Vektoren a1, a2 und a3 sind linear unabhängig, wir testen die Vektoren b1, b2 und b3 auf lineare Unabhängigkeit.
x*b1+y*b2+z*b3=0
<=> x*(a1-a3)+y*(a1+a2)+z*(a1-a2+a3)=0
<=> (x+y+z)*a1+(y-z)*a2+(-x+z)*a3=0
Jetzt nutzen wir, dass die Vektoren a1, a2 und a3 linear unabhängig sind, damit folgt aus obiger Gleichung:
x+y+z=0
y-z=0
-x+z=0
Hier sieht man sofort aus den unteren beiden Gleichungen, dass x=y=z gilt.
Benutzt du das siehst du dann aus der oberen Gleichung, dass x=y=z=0 gilt, damit sind die Vektoren b1, b2 und b3 linear unabhängig und bilden eine Basis des R³.
Jetzt sollen wir die Koordinaten deines Vektors bezüglich deiner neuen Basis bestimmen. (x,y,z)^T sei der Vektor bzgl. deiner neuen Basis. Der soll gleich dem Vektor (2,2,1)^T bzgl. der alten sein!
Also:
x*b1+y*b2+z*b3=2*a1+2*a2+a3
<=> x*(a1-a3)+y*(a1+a2)+z*(a1-a2+a3)=2*a1+2*a2+a3
<=> (x+y+z-2)*a1+(y-z-2)*a2+(-x+z-1)*a3=0
Jetzt nutzen wir wieder die lineare Unabhängigkeit der Vektoren a1, a2 und a3 und erhalten das Gleichungssystem
x+y+z-2=0
y-z-2=0
-x+z-1=0
Lösung davon ist:
x=-2/3
y=7/3
z=1/3
Also sieht dein neuer Vektor so aus:
(-2/3 , 7/3 , 1/3)^T
MfG
C. Schmidt
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Walnut (walnut)
Junior Mitglied
Benutzername: walnut
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. März, 2003 - 15:46: |
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ich danke vielmals, sehr gut erklärt und von mir verstanden.
Wal. |
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