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Walnut (walnut)
Neues Mitglied
Benutzername: walnut
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Februar, 2003 - 15:05: | 
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ich habe in Vorbereitung auf eine WdhP einige Aufgaben, deren Lösung mir schwerfällt.
a) Beweisen Sie durch Anwendung der Determinantenregeln
|1 a a²|
|1 b b²| = (a-b)(b-c)(c-a)
|1 c c²|
und
b) Berechnung der Determinante unter Verwendung der Regel des Entwicklungsatzes von LAPLACE
|1 2 0 -1 2|
|0 1 1 2 0|
|1 -1 0 1 3|
|2 1 1 0 0|
|1 2 1 -1 -1|
ich hab keine Ahnung, hat vielleicht jemand Lösungstipps ?
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Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 292
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Februar, 2003 - 17:37: |
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Hallo
Ich hab nicht so viel Ahnung von dem Zeugs, aber soviel weiß ich:
a)
Gegeben sei die Determinante D:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Dann gilt:
D = a11*A11 - a12*A12 + a13*A13
D = a11*(a22a33-a23a32) - a12*(a21a33-a23a31) + a13*(a21a32-a22a31)
Einfach einsetzen, dann müsste (a-b)(b-c)(c-a)
rauskommen!
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 948
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Februar, 2003 - 17:51: |
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Hi!
Erstmal eine Anmerkung zu a)
Deine Determinante ist eine Vandermonde-Determinant, falls du irgendwo darüber nachlesen willst.
b)
Schau mal hier nach:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4244/254 962.html?1044438198
Da habe ich erklärt wie man eine Determinante nach der ersten Zeile entwickelt!
Falls du nach einer anderen Zeile entwickeln möchtest, frag einfach nochmal nach. [In deinem Fall würde sich Zeile 2 oder 4 empfehlen, da stehen am meisten Nullen]
Du könntest natürlich auch nach Spalten entwickeln, das funktioniert genauso.
MfG
C. Schmidt |
Walnut (walnut)
Neues Mitglied
Benutzername: walnut
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Februar, 2003 - 21:28: |
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also ehrlich gesagt, ich hbe mir das jetzt ne ganze Weile angeschaut und rumprobiert und komme nicht weiter. Sowohl im oberen Bereich (Teil a) komme ich auf eine andere Lösung. Sicherlich habe ich einen Fehler, der Weg allerdings, ist mir bekannt.
Vandermonde-Determinant ist mir völlig unbekannt.
für b)
Ich versuch das nach meinem Hefter zu lösen.
Der Lösungsweg muss auf der Hauptdiagonalen
a11-Lamda
a22-Lam.
usw.
dann muss ich die Hauptdiagonale zusammenfassen
a11*a22*a33*a44*a55 + a21*a32*a43* ....
und Ziehe die Produkte der Nebendiagonale ab
-(a15*a24*a33*a42*a51+a11*a25 .... usw.
Durch die Vielzahl der Nullen im vorliegenden Fall ist dies noch nachvollziehbar.
Zuguterletzt erhalte ich ich nehme mal y für Lambda P(y)=-y^5+3y^4+3y^3-y^2+4y+0
das von Lambda freie Glied gibt mir die |A|
Ich setzte die Gleichung = 0 und löse Lambda
und
Ich habe keine Ahnung...
aber ich muss in drei Wochen durch die Prüfung, irgendwie |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 950
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Februar, 2003 - 21:41: |
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Hi!
Erstmal zu a)
Kennst du die Regel von Sarrus, damit lassen sich zum Beispiel 3x3-Matrizen leicht berechnen!
Zu b)
Was willst du hier eigentlich machen?? Wieso berechnest du erst das charakteristische Polynom um daraus die Determinante herauszulesen. Dann kannst du doch auch einfach so die Determinante berechenen! Aus deinem weiteren Vorgehen mit gleich 0 setzen usw. schließe ich, dass du eventuell noch die Eigenwerte deiner Matrix berechnen willst?!
MfG
C. Schmidt |
Walnut (walnut)
Neues Mitglied
Benutzername: walnut
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Februar, 2003 - 13:04: |
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ich bemerke, dass ein Semester zwischen den Vorlesungen und der Nachprüfung, nicht gerade einfach ist.
zu a) die Regel von Sarrus ist bekannt. ich werde es so versuchen
b) die frage ist gestellt wie oben. Ich bin nicht das Genie und versuche den Weg aus den Unterlagen nachzuvollziehen.
Gefragt ist die Determinante. ich dachte dass ich nach laplace die Det. aus den Eigenwerten berechne...
gruß |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 573
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Februar, 2003 - 13:35: |
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a) einfacher als stupides Anwenden der Sarrus-Formel ist die Anwendung von Zeilenumformungen, die ja den Wert der Determinante nicht verändern.
also
| | | | 1 | a | a² | | | | | | 1 | a | a² | | det( | 1 | b | b² | ) | | = | | det( | 0 | b-a | b²-a² | ) | | | 1 | c | c² | | | | | | 0 | c-a | c²-a² |
(b-a) und (c-a) kann man als Faktoren in der unteren Matrix herausziehen und somit ergibt sich der Wert der Determinante zu
(b-a)(c-a)((c+a)-(b+a))=(b-a)(c-a)(c-b)
Bei b) geht die Entwicklung eventuell schneller, wenn man nach der 4.Zeile oder Spalte entwickelt.(Da dort zweimal die 0 auftaucht)
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Walnut (walnut)
Junior Mitglied
Benutzername: walnut
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Februar, 2003 - 15:36: |
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erst mal vielen Dank an euch, nicht das ich das vergesse.
ich habe a) entwickelt.
eine Matrix n = 5 sollte eigentlich keine Probleme bereiten. Die errechneten Ergebnisse weichen allerdings von denen des TR ab.
Also habe ich weiterhin einen Fehler.
1. Versuch
ich entwickle nach der 3. Spalte, (2 Nullen und drei Einsen).
Zeile 1 fällt flach, wegen der 1. Null
Zeile 2 ->
gestr. Spalte 3 und Zeile 2
-1 *
|1 2 -1 2|
|1 -1 1 3|
|2 1 0 0|
|1 2 -1 -1|
als Bsp
(1*-1*0*-1)+(2*1*0*1)+(-1*3*2*2)+(2*1*1*-1)
-((2*1*1*1)+(-1*-1*2*-1)
Zusammengefaßt
-1*((-12-2) - ( 2+(-2)))= -1*(-14) = 14
Mein Taschenrechner gibt mir hier eine Determinante 0
damit ist das Gesamtergebnis hinfällig
Ich habe dann im zweiten Versuch nach der 4. Zeile entwickelt.
Die Annahme es könne an den Vorzeichen
+ - + -
- + - +
usw.
kann ich so nicht nachvollziehen.
In jedem Fall sind auch beide Endergebnisse unterschiedlich, so dass zum. mein TR zu funktionieren scheint ;-)
Wie auch immer, aus jetziger Sicht scheint diese Aufgabe ein klein wenig aufwendig.
Tippe ich den Spaß in den TR, dann habe ich die Determinante innerhalb einer Minute. |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 574
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Februar, 2003 - 21:28: |
|
Nur kannst Du den Taschenrechner nicht verwenden, wenn in der Aufgabe steht, daß Du die Determinante nach Laplace entwickeln sollst ;)
Ich entwickele zunächst nach der 4.Zeile:
| | | | 1 | 2 | 0 | -1 | 2 | | | | | | | | 0 | 1 | 1 | 2 | 0 | | | | | | 2 | 0 | -1 | 2 | | | | | 1 | 0 | -1 | 2 | | | | 1 | 2 | -1 | 2 | | | det( | 1 | -1 | 0 | 1 | 3 | ) | | = | | -2*det( | 1 | 1 | 2 | 0 | ) | | + | det( | 0 | 1 | 2 | 0 | ) | - | det( | 0 | 1 | 2 | 0 | ) | | | 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | | | | | | -1 | 0 | 1 | 3 | | | | | 1 | 0 | 1 | 3 | | | | 1 | -1 | 1 | 3 | | | | 1 | 2 | 1 | -1 | -1 | | | | | | 2 | 1 | -1 | -1 | | | | | 1 | 1 | 1 | -1 | | | | 1 | 2 | -1 | -1 |
Entwicklung nach der 2.Spalte (letzte Matrix nach der 2.Zeile) führt schließlich zu
| | | | 2 | -1 | 2 | | | 2 | -1 | 2 | | 1 | -1 | 2 | | 1 | -1 | 2 | | 1 | -1 | 2 | | 1 | 2 | 2 | | -2*det( | -1 | 1 | 3 | )+2*det( | | 1 | 2 | 0 | )+det( | 1 | 1 | 3 | )+det( | 0 | 2 | 0 | )-det( | 1 | 1 | 3 | )-2*det( | 1 | -1 | 3) | | | 2 | -1 | -1 | | | -1 | 1 | 3 | | 1 | 1 | -1 | | 1 | 1 | 3 | | 1 | -1 | -1 | | 1 | 2 | -1 |
Nun würde ich mit Sarrus weitermachen.
-2*(-2-6+2-4+6+1)+2*(12+2+4+3)+(-1-3+2-2-3-1)+(6-4 )-(-1-3-2-2+3-1)-2*(1+6+4+2-6+2)
= -2*(-3)+2*21-8+2-6-2*9 = 6+42-6-6+18 = 54
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Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 575
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Februar, 2003 - 22:17: |
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Mangels Editier-Möglichkeit, hier noch mal die richtige Lösung. Eben erstellte enthält noch diverse Rechenfehler, sorry.
Nur kannst Du den Taschenrechner nicht verwenden, wenn in der Aufgabe steht, daß Du die Determinante nach Laplace entwickeln sollst ;)
Ich entwickele zunächst nach der 4.Zeile:
| | | | 1 | 2 | 0 | -1 | 2 | | | | | | | | 0 | 1 | 1 | 2 | 0 | | | | | | 2 | 0 | -1 | 2 | | | | | 1 | 0 | -1 | 2 | | | | 1 | 2 | -1 | 2 | | | det( | 1 | -1 | 0 | 1 | 3 | ) | | = | | -2*det( | 1 | 1 | 2 | 0 | ) | | + | det( | 0 | 1 | 2 | 0 | ) | - | det( | 0 | 1 | 2 | 0 | ) | | | 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | | | | | | -1 | 0 | 1 | 3 | | | | | 1 | 0 | 1 | 3 | | | | 1 | -1 | 1 | 3 | | | | 1 | 2 | 1 | -1 | -1 | | | | | | 2 | 1 | -1 | -1 | | | | | 1 | 1 | -1 | -1 | | | | 1 | 2 | -1 | -1 |
Entwicklung nach der 2.Spalte (letzte Matrix nach der 2.Zeile) führt schließlich zu
| | | | 2 | -1 | 2 | | 2 | -1 | 2 | | 1 | -1 | 2 | | 1 | -1 | 2 | | 1 | -1 | 2 | | 1 | 2 | 2 | | -2*det( | -1 | 1 | 3 | )-2*det( | 1 | 2 | 0 | )+det( | 1 | 1 | 3 | )+det( | 0 | 2 | 0 | )-det( | 1 | 1 | 3 | )+2*det( | 1 | -1 | 3) | | | 2 | -1 | -1 | | -1 | 1 | 3 | | 1 | -1 | -1 | | 1 | 1 | 3 | | 1 | -1 | -1 | | 1 | 2 | -1 |
Nun würde ich mit Sarrus weitermachen.
-2*(-2-6+2-4+6+1)-2*(12+2+4+3)+(-1-3-2-2+3-1)+(6-4 )-(-1-3-2-2+3-1)+2*(1+6+4+2-6+2)
= -2*(-3)-2*21-6+2+6+2*9 = 6-42-6+2+6+18 =26-42=-16
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Walnut (walnut)
Junior Mitglied
Benutzername: walnut
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Februar, 2003 - 10:27: |
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erst mal, der Taschenrechner soll nur der Kontrolle dienen.
ich glaub ich hab meinen Denkfehler, die Regel von Sarrus kann ich nur bei der 3x3 Matrix anwenden.
Bei einer 5x5 Matrix muss ich demnach einmal entwickeln um von der 4x4 Mattrizen zu erhalten. Das wären normalerweise 5 im obigen Bsp. 3 und ich muss dann nochmal entwickeln.
- Mein Fehler - ich habe Sarrus schon hier angewandt-
aber mal ernsthaft, ist das nicht ein bißchen heftig für eine kleine Teilaufgabe in einer Algebra II Klausur ??
Wie dem auch sei. Ich danke ich allen, ihr habt mir sehr geholfen.
Wal
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