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Grenzwerte - HILFE!!

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Verena A. (Blondiva)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Januar, 2002 - 16:54:   Beitrag drucken

Hilfe ich bin am verzweifeln!!
Man soll diverse Grezwerte fuer n -> infinity berechnen, und zwar OHNE Stirling, und so weit ich sehen kann nur mit Hilfe von
1) a -> a (konstant)
2) 1/n -> 0 (Archimedes)
3) lim ab -> lim a * lim b
lim (a+b) -> lim a + lim b
wenn lim a -> z dann lim 1/a -> 1/z

Die Aufgaben sind (z.B.):

i) (1+2+3+...+n)/n^2
ii) (a^n-b^n)/(a^n+b^n)
iii) (n^n)/n!

WIE GEHT MAN SOLCHE FRAGEN AN??
Ich brauche unbedingt eure Hilfe bevor ich verrueckt werde......
Danke im Voraus.

V.A.
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Marty (Marty)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Januar, 2002 - 21:34:   Beitrag drucken

Hallo, Verena!

Also, Aufgabe 1 wäre wohl so lösbar:

(1+2+3+...+n)/n² = [(n+1)*n/2]/n² = (n+1)/2n = n/2n + 1/2n = 1/2 + 1/2n -> 1/2 !

Aufgabe 2:

(a^n-b^n)/(a^n+b^n)
= a^n/(a^n+b^n) - b^n/(a^n+b^n)
= (a^n+b^n)-b^n/(a^n+b^n) - b^n/(a^n+b^n)
= 1 - b^n/(a^n+b^n) - b^n/(a^n+b^n)
= 1 - 2b^n/(a^n+b^n)
= 1 - 2/(a^n/b^n + 1)
= 1 - 2/((a/b)^n + 1)

Für a>b konvergiert der Nenner gegen unendlich; damit der Bruch gegen Null und der ganze Term gegen 1.
Für a=b konvergiert der Term gegen 0.
Für a<b konvergiert der Nenner gegen 1, der ganze Term gegen -1.

Aufgabe 3:

Schreibe den Term mal als
(n*n*n*n*n*...*n)/[n*(n-1)*(n-2)*...*1] an. Nenner und Zähler bestehen aus gleich vielen Termen; wenn du paarweise alle Glieder bis auf die jeweils letzten kürzt, muss das Ergebnis einen höheren Grenzwert haben. Das "Ergebnis" n/1 konvergiert aber gegen unendlich, daher muss es auch der höhere Term. q.e.d.

Hoffe, ich konnte dir helfen. Bei Fragen mail mir einfach!

Lg,
MARTY
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Verena A. (Blondiva)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Januar, 2002 - 22:22:   Beitrag drucken

Hallo Marty,

Vielen, vielen Dank!! Du hast mir gerade aus der Verzweiflung geholfen!!
Fuer die ersten beiden war ich sogar selbst erstaunlich nah gekommen! Fuer die dritte: Was meinst du mit paarweise kuerzen? Denn im Nenner multipliziert sich ein Paar ja nicht immer zu n zusammen!
Wie sieht es aus mit zB
(n!)^(1/n) ?
was kann man mit ^(1/n) machen??
Tut mir leid, ich will nicht, dass du mir alle "Hausaufgaben" machst, ich versuche nur zu verstehen!
Schrecklichen Dank,

VA
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Marty (Marty)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Januar, 2002 - 22:56:   Beitrag drucken

Hallo Verena!

Schreibe, wie gesagt, den Term als
(n*n*n*n*n*...*n)/[n*(n-1)*(n-2)*...*1] an.

Jetzt kürze jeweils die linke Zahl oben und unten, es bleibt:
(n*n*n*n*n...*n)/[(n-1)*(n-2)*...*1] an.

Und noch einmal:
(n*n*n*n*n*...*n)/[(n-2)*...*1] an.

Dieser Term ist zwar nicht mehr derselbe, aber er ist kleiner als der vorige (da du oben n, unten (n-1) gestrichen hast. Wenn du das jetzt immer weiter bis zum letzten Glied machst, erhältst du:

(n*n)/(2*1) und dann n/1=n.
Dieser Term ist nun noch immer KLEINER als der ursprüngliche. Für n gegen unendlich geht der Term (der ja nur aus n besteht) gegen unendlich. Da er KLEINER als der andere ist, muss dieser auch gegen unendlich sein.

Hoffe, jetzt ist alles klar, sonst meld dich einfach wieder... Ich helfe gerne!

Liebe Grüße,
MARTY

PS: Vielleicht gibt es noch eine elegantere Lösung... mir fällt aber grad keine ein!

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