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Hausaufgabe

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Analysis » Beweise » Hausaufgabe « Zurück Vor »

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antje (Antje1411)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Januar, 2002 - 13:37:   Beitrag drucken

für ganz gelangweilte bzw. spitzenmathematiker:

f(x) = (1/2x³+1/2x-1)/(x²-x-2)
g(x) = 1/2x + 1/2

-Polstellen von f und das Verhalten von f für x-->+-oo untersuchen

- Nullstellen von f bestimmen und steigung des graphen in diesen

- in worten beschreiben, wie viele extremstellen man erwarten kann. näherungsweise bestimmung einer extremstelle von f.

- lagebeziehung der graphen f und g untersuchen.wo schneidet der graph von f den graphen von g und mit welcher steigung. wo verläuft der graph von f oberhalb von g, wo unterhalb von g?

Und weils gerade so schön ist:

einem kegel mit dem radius R und der HÖhe H wird ein zweiter Kegel so einbeschrieben, daß dessen Spitze im Mittelpunkt des Grundkreises des ersten Kegels liegt und sein Volumen möglichst groß wird.

wer die lösung dieser letzteren aufgabe einfach so aus dem ärmel schüttelt, möge mir erklären, wie man völlig unverkrampft an solche aufgaben rangeht. dankeschön.
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Zacharias
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Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Januar, 2002 - 20:30:   Beitrag drucken

Hallo antje,
Was soll denn bewiesen werden?
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antje (Antje1411)
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Veröffentlicht am Montag, den 28. Januar, 2002 - 07:09:   Beitrag drucken

hallo zacharias,

es soll das größtmögliche volumen des zweiten kegels berechnet werden, wenn er im ersten so liegt, wie oben beschrieben! was ist mit der ersten aufgabe? :o)
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K.
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Veröffentlicht am Montag, den 28. Januar, 2002 - 09:06:   Beitrag drucken

Hallo Antje

Uni-Niveau? Na, ja!

Polstellen: x=-1 und x=2
da hier Nenner 0 und Zähler ungleich 0

lim(x->+oo)f(x)=+oo
lim(x->-oo)f(x)=-oo

Nullstellen: f(x)=0 <=> x=1
Steigung m=f'(1); also 1. Ableitung bilden, für x 1 einsetzen und ausrechenen

Extrema: f'(x)=0
=> x1=-2,2507 Max und x2=3,685 Min

Schnittpunkte von f und g: f(x)=g(x) => S(0|0,5)
f oberhalb g für x Element ]-1;0[u]2;+oo[
f unterhalb g für x Element ]-oo;-1[u]0;2[


Kegel:
Nach dem Strahlensatz gilt:
H/R=(H-h)/r <=> r=R-(Rh/H)

V=(1/3)*pi*r²*h
=> V(h)=(1/3)*pi*(R-(Rh/H))²*h
=(1/3)*pi*(R²h-(2R²h²/H)+(R²h³/H²))

=> V'(h)=(1/3)*pi*(R²-(4R²h/H)+(3R²h²/H²))=0
<=> h²-(4/3)Hh+(1/3)H²=0
=> h1,2=(2/3)H±Ö((4/9)H²-(1/3)H²)
=> h1=H und h2=H/3
Mit 2. Ableitung überprüfen, ergibt Max für
h=H/3
=> r=R-(R*H/3)/H=R-(R/3)=(2/3)R

Mfg K.
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Orion (Orion)
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Veröffentlicht am Montag, den 28. Januar, 2002 - 09:22:   Beitrag drucken

antje :

Hilfe zur Selbsthilfe :

f(x) = (1/2)(x-1)(x^2+x+2)/((x+1)(x-2))

Daraus liest man Null-und Polstellen ab.

f(x) = (1/2)(x+1) + 2x/((x+1)(x-2)) (Division mit Rest !)

Daran erkennt man: y = (1/2)(x+1) = g(x) (!) ist eine Asymptote des Graphen von f.

Zur Extremalaufgabe: Seien r,h Radius bzw. Höhe
eines einbeschriebenen Kegels. Sein Volumen ist
V = (Pi/3)r^2*h. Zwischen den Variablen r und h
besteht die Beziehung

h = H(1-r/R) (Elementargeometrie !)

Also

V = V(r) = (Pi/3)r^2(1-r/R) ; 0 =< r =< R

Rechne nach, dass das Maximum dieser Funktion bei
r = (2/3)R liegt.

Bemerkung : Spitzenmathematiker wären hier unterfordert,
denn das ist Schulmathematik. Zur Langeweile:
"Das Geheimnis zu langweilen besteht darin, alles
zu sagen "(Voltaire)

mfg

Orion
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antje (Antje1411)
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Veröffentlicht am Montag, den 28. Januar, 2002 - 16:43:   Beitrag drucken

superspitzenmäßig!vielen dank an alle, die geholfen haben. zum uni-niveau: es ist mathe für angehende primarstufenlehrer - dafür ist es eigentlich zu schwer, aber auf mich will ja keiner hören... orion, danke für die erklärungen. sind sehr sehr hilfreich. viele liebe grüße. antje

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