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Beitrag |
    
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 881
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Februar, 2003 - 13:50: | 
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Wie kann ich beweisen, dass die Folge an mit
a0=1 und an+1=1+1/an gegen (1+sqrt(5))/2 konvergiert?
Vorher wurde schon an-1=fn+1/fn gezeigt für n>=1, wobei fn die n-te Fibonacci-Zahl ist.
MfG
C. Schmidt |
Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 503
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Februar, 2003 - 15:18: |
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Christian,
Zunächst sieht man leicht (Induktion !), dass
1 £ an £ 2 für alle n.
Jetzt sei bk:=a2k , ck:=a2k+1, k=0,1,...
Dann gilt b0=1,b1=3/2,
bk+1=1+bk/(1+bk) ==>
bk+1-bk = (bk-bk-1)/[(1+bk)(1+bk-1)].
Die Folge (bk) ist also wachsend und nach
oben beschränkt, somit konvergent, ihr Limes ist
die positive Lösung a von x = 1+x/(1+x). Analog zeigt man, dass (ck) fallend und nach unten beschränkt ist und zum selben Grenzwert konvergiert.
(bk | ck) ist eine Intervallschachtelung für
a.
Wenn man die Binet'sche Formel
fn = (an - bn)/sqrt(5)
benutzt, ist obige Aussage evident.
mfG Orion
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