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stella (stella234)
Neues Mitglied
Benutzername: stella234
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Februar, 2003 - 04:13: | 
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Hi,
wiederum habe ich Schwierigkeiten mit einer Aufgabe aus dem Gebiet der Kollineation.
Die Frage lautet:
Gegeben ist die perspektive Kollineation durch die Abbildungsgleichungen
x´ = - x / ( y-1)
y´ = 2 y / ( y-1)
sowie der Kreis k : (x – u ) ^ 2 + ( y – v ) ^ 2 = r^2.
Man beweise rechnerisch, dass das kollineare Bild des Kreises eine Ellipse,
Parabel oder Hyperbel ist, je nachdem k die Gerade g mit der Gleichung y = 1
meidet, berührt oder schneidet.
Danke für jede hilfreiche Antwort!
stella
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Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 499
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Februar, 2003 - 08:59: |
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Stella,
Um die Gleichung der Bildkurve k' zu erhalten, haben wir wiederum zunächst die Abbildungsgleichungen nach den "ungestrichenen" Variablen x,y aufzulösen.
Rechne nach, dass
x = - 2x'/(y'-2), y = y'/(y'-2).
Diese Terme setzt man nun in die k-Gleichung ein und
erhält - nach Erweitern mit (y'-2)2 -
k' : [2x'+u(y'-2)]2+[y'-v(y'-2)]2-r2(y'-2)2=0.
Ich überlasse es Dir, dies auszumultiplizieren und zu
ordnen, sodass die Gleichung von k' in der Standardform
k' : Ax'2+2Bx'y'+Cy'2+Dx'+Ey'+F=0
erscheint, in welcher die Koeffizienten A,...,F Funktionen von u,v und r sind. Was die
gegenseitige Lage von k und g betrifft, so hängt diese
offenbar davon ab,ob die quadratische Gleichung
(x-u)2+(1-v)2=r2
0, 1, oder 2 reelle Lösungen besitzt, d.h. ob
r < |1-v| , r = |1-v| , oder r > |1-v|
ist. Ich denke, mit diesen Hinweisen kannst Du nun selbst an's Ziel gelangen.
mfG Orion
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1970
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Februar, 2003 - 09:01: |
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Hi Stella,
Ich löse Dir die Aufgabe in extenso vor, damit Du mit der
Zentralkollineation (ZK) und der Analyse von Kegelschnitten
(KS) besser vertraut wirst. Meine Antwort bildet mit der von
mir kürzlich gelösten Parabelaufgabe ein Ganzes.
(I)
Wir schneiden den Kreis mit der Geraden y = 1 und stellen
die Bedingungen dafür auf, dass die Anzahl der Schnittpunkte
0 , 1 oder 2 ist.
Eliminiert man y aus der Kreis- und Geradengleichung,
so entsteht die quadratische Gleichung in x:
x ^ 2 – 2 u x + u ^ 2 + 1 – 2v + v^2 – r^2 = 0
zur Ermittlung des x-Wertes der Schnittpunkte.
Massgeblich ist die Diskriminante D dieser Gleichung
D = 4 [ r ^ 2 – ( v – 1 ) ^ 2 ]
Für D < 0 gibt es keinen Schnittpunkt
Für D = 0 gibt es genau einen Schnittpunkt (Berührung)
Für D > 0 gibt es zwei Schnittpunkte
Man kann diese Gleichungen an einer Figur leicht bestätigen.
(II)
Wir ermitteln wie neulich die Umkehrabbildung;
nach kurzer Rechnung erscheinen:
x = - 2 x´/ ( y´- 2 )
y = y´/ ( y´- 2 )
Dies setzen wir ins die Kreisgleichung ein, lösen die Klammern
und ordnen. Dabei sind nur die quadratischen Terme wesentlich,
d.h. wir ermitteln in der allgemeinen Gleichung zweiten Grades
für KS, also in
A x´ ^ 2 + 2 B x´ y´ + C y´ ^ 2 + 2 D x´ + 2 E y´ + F = 0
die Koeffizienten A, B und C und damit die quadratische Form
A x´ ^ 2 + 2 B x´ y´ + C y´ ^ 2.
Wir erhalten:
A = 4 , B = 2 u , C = u ^ 2 + (v – 1 ) ^ 2 – r^2
Wir berechnen die Determinante delta = A C – B ^ 2, welche
über die Art des KS entscheidet.
Wir erhalten
delta = 4 [ (v – 1 ) ^2 – r ^2 ];
delta ist zur weiter oben berechneten Diskriminante D
entgegengesetzt gleich.
Das erwartete Resultat liegt vor uns:
Ist D positiv, dann ist delta negativ und es liegt eine Hyperbel vor.
Ist D null, dann ist delta null und es liegt eine Parabel vor.
Ist D negativ, dann ist delta positiv und es liegt eine Ellipse vor.
Es bleibt noch anzumerken, dass die Gerade g mit der Gleichung
y = 1 die Rolle der Fluchtgeraden spielt.
Somit ist das Ergebnis aus dieser Sicht plausibel,
was will man mehr.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1971
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Februar, 2003 - 09:05: |
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Hi Orion,
Wir habem delta t auf 2 Min. herunterdgedrücht,wie in früheren Zeiten !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 500
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Februar, 2003 - 09:20: |
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Hallo megamath,
Ich setzte in dieser Minute dazu an, in einem
Postscriptum zu erwähnen, dass die ganze Rechnerei
am Ende nur wenig zur Erhellung des simplen geometrischen Sachverhaltes beiträgt . Aber wenn's
denn so sein soll...
mfG Orion
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stella (stella234)
Neues Mitglied
Benutzername: stella234
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Februar, 2003 - 07:13: |
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Ich habe Glück:
ich bekomme immer Antworten mit Hand und Fuß!
Herzlichen Dank an Orion und megamath!
stella |
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