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stella (stella234)
Neues Mitglied
Benutzername: stella234
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Februar, 2003 - 05:48: | 
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Hi,
meine Aufgabe lautet:
Gegeben sind die Gleichungen einer zentralkollinearen Abbildung
X = 2 x / (y + 2)
Y = 5 y / (y + 2)
Man weise nach, dass das Bild des Kreises
x^2 + y^2 – 10 x + 21 = 0
eine Parabel ist und bestimme von dieser Parabel die Gleichung der Achse
und die Koordinaten des Scheitels.
Ich bin aber etwas ratlos, wie ich beginnen soll!
Vielleicht kann mir jemand helfen.
Danke und viele Grüße
stella
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Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 496
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Februar, 2003 - 17:15: |
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Stella,
Denkanstoss:
Löse zunächst die Abbildungsgleichungen nach den
Variablen x,y auf (rechne nach !):
x = 5X/(5-Y) , y = 2Y/(5-Y)
Setze nunmehr x,y in die gegebene Kreisgleichung
ein. Nach Erweitern mit (5-Y)2 entsteht eine quadratische Gleichung in X,Y: das ist die Gleichung
der Bildkurve. Diese muss man nun diskutieren.
Da ein gemischter Term XY auftritt, bedeutet das
eine Hauptachsentransformation.
mfG Orion
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1968
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Februar, 2003 - 17:43: |
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Hi Stella,
Um möglichen Verwechslungen vorzubeugen,
schreibe ich für die Koordinaten des Bildpunktes
x* statt X und y* statt Y.
Der Koordinaten des Originalpunktes sind nach
wie vor x und y.
Die Koordinatenachsen x, y einerseits und x* , y*
andrerseits fallen, wie üblich, paarweise zusammen.
(I)
Wir lösen das System der Abbildungsgleichungen
nach dem Paar (x/y) auf; nach leichter Rechnung
kommt:
x = 5 x* / (5 – y*)
y = 2 y* / (5 – y*)
Setzt man dies in die gegebene Kreisgleichung ein
und schafft die Brüche weg, so erhält man die
Gleichung der Bildparabel; diese lautet vereinfacht:
5 x*^2 +10 x* y* + 5 y* ^2 - 50 x* – 42 y*+105 =0
*******************************************
(II)
Wir vergleichen die Koeffizienten dieser Gleichung
mit denjenigen der allgemeinen Gleichung
zweiten Grades in x* und y*, die so lautet:
A x*^2+2 B x* y*+C y*^2+2 D x*+2 E y*+F = 0
In unserem Fall gilt:
A = 5, B = 5, C = 5, D = - 25 , E = -21 , F =105.
Über die Art des Kegelschnitts gibt uns die
Determinante delta = A C – B^2 Auskunft.
Der Wert delta = 0, den wir aus A=B=C=5
berechnen, weist nach der Theorie darauf hin,
dass eine Parabel vorliegt.
Auch die Achsenrichtung der Parabel ergibt sich
formelmäßig aus der für Parabeln gültigen Relation
m = tan (gamma) = - B / C = - 1 ; dabei ist gamma
der Richtungswinkel der Parabelachse und m deren
Steigung.
(III)
Ermittlung des Scheitels S der Parabel.
Da die Parabeltangente in S auf der Achse
der Parabel senkrecht steht, ergibt sich aus
der Steigung m = -1 der Achse die Steigung
m* der Scheiteltangente; es ist m* = 1.
Nun differenzieren wir die Parabelgleichung
implizit nach x*;
y*´ ist dabei die Ableitung von y* nach x*;
es entsteht :
10 x*+10 x* y* ´+10 y*+10 y* y*´-50–42 y*´= 0,
nach y*´aufgelöst:
y*´= - [10 x* + 10 y* – 50 ] / [ 10 x* + 10 y* – 42]
Wir setzen y*´= m* = 1 und erhalten nach
kurzer Rechnung:
y* = - x* + 23 / 5 …………………………………………….(A ha)
Dies ist die Gleichung einer Geraden a, die durch S
geht und die Steigung -1 der Achse aufweist.
Somit ist dies die Gleichung der Parabelachse,
die uns gewissermaßen in den Schoss gefallen ist.
(IV)
Den Scheitel S finden wir, indem wir die Gerade a mit
der Parabel schneiden:
Wir setzen y* aus (A ha) in die Parabelgleichung ein
und lösen nach x* auf; Ergebnis:
x* = 11/5; daraus mit (A ha): y* = 12/5
Das sind die gesuchten Koordinaten des Parabelscheitels.
Ergänzungen folgen
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1969
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Februar, 2003 - 18:15: |
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Hi Stella,
Die rechnerisch ermittelten Lösungen zu Deiner
Aufgabe können mit Hilfe der Eigenschaften
der kollinearen Abbildung überprüft werden
Zunächst ermitteln wir die Hauptdaten dieser
Abbildung:
das Kollineationszentrum Z,
die Kollineationsachse e,
sowie die beiden Gegenachsen.
Zunächst bestimmen wir die Fixelemente
der Abbildung durch Rechnung:
wir setzen in den Abbildungsgleichungen
x* = x , y* = y und gewinnen so die Relationen
für x, y:
1) x y = 0 2) y (y-3) = 0
Es gibt nun zwei Fälle:
I.y = 0; dies stellt die x-Achse dar,
welche sich somit
als Kollineationsachse e herausstellt.
II. y = 3 , x = 0 ; das ist der Punkt Z(0/3),
welcher als Kollineationszentrum erscheint.
Die erste Gegenachse, auch Fluchtgerade
genannt, ergibt sich durch Nullsetzen des
Nenners in der Abbildungsgleichung in
x* = 2 x / (y + 2)
y* = 5 y / (y + 2)
Somit ist die Parallele y = - 2 zur x-Achse
die Fluchtgerade.
Die andere Gegenachse entsteht analog durch
Nullsetzen des Nenners in den Gleichungen
x = 5 x* / (5 – y*)
y = 2 y* / (5 – y*)
Somit lautet die Gleichung der zweiten Gegenachse
y* = 5 , eine weitere Parallele zur x-Achse.
Wir stellen fest:
Der gegebene Kreis x^2 + y^2 – 10 x + 21 = 0,
Mittelpunkt M(5/0), Radius 2, berührt die
Fluchtgerade y = -2 im Punkt T(5/-2) .
Daher ist die Richtung der Parabelachse gegeben
durch die Richtung der Verbindungsgeraden T
dieses Berührungspunktes mit dem
Kollineationszentrum Z.
Wir erhalten wie oben als Steigung m der
Parabelachse
m = - 1.
Um die Parabelachse und den Scheitel zu konstruieren,
sind zusätzliche Kenntnisse über die zentrische
Kollineation erforderlich.
Darauf gehen wir hier nicht näher ein.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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stella (stella234)
Neues Mitglied
Benutzername: stella234
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Februar, 2003 - 04:13: |
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Danke für die Antworten!
und an megamath besonderen Dank,
das ist ja eine ganze Vorlesung!
Ich muss erst alles genau anschauen!
liebe Grüße von stella |
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