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Stefan (hansibal)
Mitglied
Benutzername: hansibal
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Februar, 2003 - 15:54: | 
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Hallo Leute!
Ich will nicht lügen und behaupten ich brauche den Beweis für die Schule. Weiters gehe ich noch nicht mal auf die Uni aber der Beweis scheint doch sehr schwer zu sein. Falls also jemand Übung braucht....
Ich habe mir eine neue Zahlenart erfunden und nenne sie Raschu Zahlen.
Die Eigenschaft einer Raschu-Zahl ist, dass diese Zahl + 1 eine Quadratzahl ist, ebenso wie die halbe Raschu-Zahl.
Ich würde mich jetzt über einen Beweis dafür freuen, dass es unendlich oder nur eine begrenzte Anzahl davon gibt.
Beispiel:
8; 8+1 = 3²
8/2= 2²
Rechnet man jetzt 3/2 kommt 1,5 raus.
Aber bei größeren raschu-zahlen scheint dieser Wert gegen Wurzel 2 zu konvergieren.
Alle bisher von einem Programm gefundenen Raschu-Zahlen:
8
288
9800
332928
11309768
384199200
13051463048
443365544450
..
Witzigerweise kommen jetzt kurz aufeinander folgend mehrere Raschu-Zahlen die allerdings schon 11 und mehr Stellen haben, also sie werden nicht unbedingt seltener.
Stefan
(Beitrag nachträglich am 05., Februar. 2003 von hansibal editiert) |
Martin (martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 756
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Februar, 2003 - 18:33: |
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Hi!
Ich habe keine Lösung, aber erstmal zur Konvergenz:
Das ist nicht weiter verwunderlich, denn dur rechnest:
lim (Ö((n+1)/(n/2))) = lim(Ö(2(1+1/n))) = lim(Ö2) = Ö2
Aber deine Aufgabe läuft unter anderem darauf hinaus, zu zeigen, dass es unendlich viele (oder eben nicht) Zahlenpaare (r,k) gibt, so dass gilt:
r2 = 2*k(k-1)
Dabei sollen beide Zahlen natürlich sein.
Man sieht leicht, dass k(k-1) eine ungerade Potenz von 2 enthält und sonst nur Quadrate als Faktoren, aber wie findet man solche Zahlen? Momentan habe ich ein Brett vor dem Kopf.
Ach ja, und so bin ich drauf gekommen:
n + 1 = p2
n / 2 = r2
p ist ungerade, also:
p = 2k-1
=> 2r2 + 1 = (2k-1)2
<=> 2r2 = 4k2 - 4k + 1
<=> r2 = 2*k(k-1)
Hmmm...
Jetzt muss man eben herausfinden, welche Zahlen dazu passen oder einen ganz anderen Weg wählen...
MfG
Martin
(Beitrag nachträglich am 05., Februar. 2003 von martin243 editiert) |
Levi (levi)
Junior Mitglied
Benutzername: levi
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Februar, 2003 - 22:52: |
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Es scheint unendlich viele zu geben.
Erstmal die Info:
Ich liste mal auf: (Raschuzahl = n; Zähler = k)
n(k)=Raschu-Zahl
x(k)=Sqrt(n/2)
y(k)=Sqrt(n+1)
n(1)=8
x(1)=2
y(1)=3
n(2)=288
x(2)=12
y(2)=17
n(3)=9800
x(3)=70
y(3)=99
n(4)=332928
x(4)=408
y(4)=577
n(5)=11309768
x(5)=2378
x(5)=3363
usw.
Folgende Bildungsregel für neue x_(k+1) bzw y_(k+1) ist mir aufgefallen:
x(k+1) = 6*x(k) - x(k-1)
y(k+1) = 6*y(k) - y(k-1)
Das ergibt die folgende Bildungsformel für neue Raschu-Zahlen:
n(k+1)=2*( 6*Sqrt(n(k)/2) - Sqrt(n(k-1)/2) )^2
Mal sehen, ob ich noch herausfinde, warum das so ist ;)
(Beitrag nachträglich am 06., Februar. 2003 von levi editiert) |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 492
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Februar, 2003 - 08:34: |
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Hallo,
N ist eine Raschu-Zahl genau dann wenn
N+1=x2 und N = 2y2 mit x,y € N.
Daraus ergibt sich für x,y die diophantische Gleichung
2. Grades
x2 - 2 y2 = 1.
Dies ist eine sog. Pell'sche Gleichung. Sie hat unendlich viele Lösungen (xn,yn), welche man
folgendermassen findet:
xn + yn*sqrt(2) = (3+2*sqrt(2))n, n € N.
Offenbar gilt
xn+1 + yn+1*sqrt(2) =
(3+2*sqrt(2))(xn+yn*sqrt(2)),
daraus gewinnt man die Rekursionsformeln
xn+1 = 3xn + 4yn
yn+1 = 2xn + 3yn.
Man rechnet leicht nach, dass wenn (xn,yn)
eine Lösung ist, so auch (xn+1,yn+1)
mfG Orion
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Martin (martin243)
Senior Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 757
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Februar, 2003 - 08:49: |
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Hi!
Ein kleiner Geniestreich, Levi. Kompliment!
Die Folge sieht gut aus, ich habe es sogar geschafft, die Rekursion auf das Vorgänger-Glied zu vereinfachen:
nk+1 = 17nk + 8 + 12Ö[2nk(nk+1)]
Aber bleibt immer noch die Frage, ob diese Folge genau den Raschu-Zahlen entspricht.
Knifflig, knifflig, Stefan!
MfG
Martin |
Stefan (hansibal)
Mitglied
Benutzername: hansibal
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Februar, 2003 - 13:02: |
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Hallo Leute!
Also, das Echo ist fantastisch.
Die Zahlen hab ich durch ein Computerprogramm gefunden, aber Bildungsformeln sind natürlich viel besser.
Vielen Dank
Stefan |
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