| Autor |
Beitrag |
    
Christoph (Gregor_2)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Januar, 2002 - 17:53: | 
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Auf dem Fussboden (x1, x2 jeweils zwischen 0 und 2) eines Kellerraumes hockt im Punkt P=(1; 1/2) die Kellerassel Darky.
Plötzlich geht das Licht an und es ergibt sich auf dem Fußboden eine Verteilung der Lichtstärke, dir durch
f(x1,x2) = 17x1²+17x2²-30x1*x2+2*(x1+x2)+2
gegeben ist (je grösser f, desto heller ist es dort).
Aufgaben:
(1)
Die lichtscheue Darky flieht auf "kürzestem Weg ins Dunkle". In welche Richtung läuft sie los?
(Ich denke hier muss mit grad f gearbeitet werden).
(2)
Angenommen, Darky würde in Richtung der Ecke (2;2) loslaufen. Wird es dabei zunächst heller oder dunkler?
(3)
Man begründe: Die Niveaulinien von f sind konzentrische Ellipsen (Ohne Nachweis übernehmen Sie: das Zentrum ist M=(-1;-1)).
Bestimmen Sie das Verhältnis der Halbachsen und skizzieren Sie im x1,x2-Koordinatensystem das Koordinatensystem, in dem die Ellipsen-Halbachsen parallen zu den Koordinatenachsen sind. Zeichnen Sie in diese Skizze eine der Ellipsen ein.
Ich bin auch sehr dankbar, wenn nur Teile gelöst werden. Habe die Aufgabe selbst schon einmal gelöst, bin mir aber nicht ganz sicher und benötige einen Vergleich. Danke! |
Thomas
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Januar, 2002 - 19:24: |
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Hi Christoph,
kannst du deine Lösungswege (ideen) vielleicht posten? Das würde es uns einfacher machen.
Grüße,
Thomas |
Christoph (Gregor_2)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Januar, 2002 - 19:42: |
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Also, ich versuche es mal im Folgenden verbal zu beschreiben, wie ich bei der Lösungsfindung vorgegangen bin:
zu
(1)
Berechnung des grad f am Ort P(1; 1/2).
Der Gradient gibt ja die stärkste Zunahme vom jeweiligen Ort an.
Da hier aber "der kürzeste Weg ins Dunkle" zu suche ist, müsste der -grad f in P berechnet werden. (Hoffe das ist so richtig??)
zu
(2)
Ich habe versucht einfach eine Paramerterdarstellung des Weges von P zu der Ecke (2,2) mit Parameter t (t von 0 bis 1) aufzustellen und die jeweilige x und y Komponente in f für x1 und x2 einzusetzen.
Die gefundene Funktion mit nur einer Variablen (in t) kann dann abgeleitet werden und ich erhalte die Steigung. (Bei mir war die Funktion dann monoton steigend, also müsste es heller werden).
zu
(3)
Da mir die Ergebnisse aus (1) und (2) etwas "unsympatisch" waren hatte ich hier nicht das richtige Gefühl für den vorliegenden Fall.
Ich denke man kann den grad f im Punkt M (-1;-1) bestimmen und müsste so die Richtung der "längeren" Halbachse der Ellipse bekommen. Wie dann das Achsenverhältnis der Halbachsen bestimmt wird ist mir noch nicht ganz klar.
Hoffe das Problem ist euch klar geworden.
Es wäre super, wenn ihr mir da weiterhelfen könntet. Es war eine alte Vordiplomsaufgabe von HMII.
Danke! |
Thomas
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Januar, 2002 - 21:16: |
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Hallo,
nette Aufgabe. Hat mich jetzt eine Weile beschäftigt. Ganz zufrieden bin ich mit Resultat nicht - ich habe aber eben noch einen Fehler in meinen Rechnungen entdeckt. Möchte jetzt nicht mehr alles durchrechnen, deshalb nur die Idee:
Aus meiner Sicht sind alle deine Überlegungen korrekt. Die längere Halbachse geht in Richtung (1/1), die kürzere senkrecht dazu in Richtung (1/-1).
Das neue Koordinatensystem hat Ursprung (0/0) und Achsen parallel zu den Ellipsenachsen. Ein Punkt mit Koordinaten (u/v) in diesem System hat im Ausgangssystem die Koordinaten (-1+u+v/-1+u-v).
Du setzt nun letztere Koordinaten in die Gleichung für f ein. Bei einer Niveaulinie ist das Ergebnis konstant.
Im neuen Koordinatensystem muss u^2/a^2 + v^2/b^2 = 1 gelten. (Ellipsengleichung)
Nun führst du einen Koeffizientenvergleich der beiden Gleichungen durch. Das liefert dir Gleichungen für a und b, woraus du das Verhältnis der Achsen bestimmen kannst.
Ich habe vorhin 4:1 rausgekriegt. Wohlgemerkt mit einem Fehler (ich das Koordinatensystem nur gedreht und nicht verschoben), aber die Koeffizienten von u^2 und uv dürften sich dadurch nicht ändern und die Verhältnisgleichung müsste stimmen.
Grüße,
Thomas |
Christoph (Gregor_2)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Januar, 2002 - 09:31: |
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Hallo,
danke für deine Nachricht.
Was mir bei der Lösung etwas komisch vorkommt ist folgendes:
ich bekomme bei (1) heraus, dass die Kellerassel Richtung (-21; 11) gehen müsste, um am schnellsten ins Dunkle zu kommen.
Wenn ich mir aber überlege, dass am Punkt (0;0) nur eine Lichtstärke von 2 herrscht und somit also hier der dunkelste Punkt ist, finde ich das nicht logisch.
Kannst du mir da nochmal was zu sagen?
Danke! |
Thomas
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Januar, 2002 - 10:26: |
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Hi,
bist du sicher, dass (0/0) der dunkelste Punkt ist? Könnte man nicht auch unter 2 kommen? Müsste man mal nachrechnen.
Aber eigentlich spielt das gar keine Rolle. Der Gradient spiegelt nur eine lokale Eigenschaft wieder. Wenn du in Richtung des Gradienten gehst, gehst du den Weg, der im Moment/an dieser Stelle die höchste Steigung besitzt. Aber dieser Weg muss nicht auf ein eventuell vorhandens globales Maximum zusteuern.
Grüße,
Thomas |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Januar, 2002 - 11:46: |
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Hi allerseits,
Ihr habt alle sicher nichts dagegen,
wenn ich der Kellerassel helfend beispringe und darauf aufmerksam mache,
dass in der Aufgabenstellung ein Fehler verborgen ist.
Kleine Aenderung in den Bezeichnungen seinen mir gestattet:
Ich setze x für x1 , y für x2
Für die angegeben Funktion f(x,y) ist M(-1/-1) NICHT der Mittelpunkt
der Schar der Niveaulinien ,d.h. einer Schar ähnlicher Ellipsen.
Will man an den schönen Daten von M festhalten, dann heisst es für f(x,y)
corriger la fortune.
Ich schlage vor, zu diesem Zweck die Koeffizienten von x und y
von 2 auf 4 zu erhöhen; im gleichen Umgang würde ich die Konstante
4 statt 2 setzen.
Selbstverständlich ändert sich dabei am Verhältnis 1:4 der Halbachsen nichts,
da dieses nur von der quadratischen Form in x ,y abhängt.
Mit den Eigenwerten dieser Form lässt sich dieses Verhältnis soforrt
bestimmen.
Auf Wunsch werde ich auf Details eingehen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Christoph (Gregor_2)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Januar, 2002 - 12:19: |
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Hallo,
ehrlich gesagt kam mir das mit dem Mittelpunkt auch schon komisch vor, da f(-1;-1)=2 und f(0;0)=2
was der Voraussetzung dass das gegebene M Mittelpunkt ist ja widerspricht.
Ist dann von der ogiben Funktion der Mittelpukt (1/2;1/2)?
Liegt ja genau zwischen (-1;-1) und (0;0)!
Ist das korrekt?
In der Aufgabenstellung war gefordert, dass man zeigt, dass Ellipsen vorliegen, wie zeige ich das genau? Das ist mir noch nicht klar geworden.
Die Halbachsenbestimmung ist schon klar, aber wie zeigeich überhaupt, dass hier konzentrische (ähnliche) Ellipsen vorliegen?
Werde mal meinen Matheprof. auf den Mittelpunkt ansprechen!
Schon seltsam, immerhin war es eine Vordiplomsaufgabe:-)
Ihr könnt mir gerne beide noch schreiben, vielen Dank!
Gruss Christoph |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Januar, 2002 - 14:17: |
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Hi Christoph,
Im folgenden geht es mir einzig um die Analyse der
Kegelschnittschar
f(x,y) = 17 x^2 – 30 x y + 17 y ^2 + 4x + 4y + 4 = k
Für den Scharparameter k gelte k > = 0
Die Art des Kegelschnitts ergibt sich aus den
Koeffizienten A,B,C der quadratischen Form
A x^2 + 2 B x*y + C y^2
Wir berechnen die Determinante D = A * C – B ^ 2
und bestimmen ihr Signum; je nachdem D > 0, = 0 oder < 0
ist, liegt eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel vor.
Im vorliegenden Fall gilt:
A = 17, B = - 15 , C = 17 ; damit entsteht
D = 17 * 17 – 15 ^ 2 > 0 ; Entscheid: Ellipse.
Ermittlung des Mittelpunktes.
Wir differenzieren die Gleichung des Kegelschnitts implizit nach x
(benütze die Produkt- und Kettenregel) ; Resultat:
34 x –30 y -30 x y` + 34 y y + 4 + 4 y` = 0
daraus :
y `= - [17 x – 15 y + 2 ] / [ -15 x + 17 y + 2]
Wir postulieren y ` = 0 ; dann ist die eckige Klammer im Zähler null.
Die daraus entstehende lineare Gleichung 17 x – 15 y + 2 = 0
stellt eine Gerade g dar, welche den Hochpunkt H mit dem Tiefpunkt T
verbindet.
Wir postulieren 1/y ` = 0 ; dann ist die eckige Klammer im Nenner null
Die daraus entstehende lineare Gleichung -15 x + 17 y + 2 = 0
stellt eine Gerade h dar, welche den am meisten links liegenden Punkt L
mit dem am meisten rechts liegenden Punkt R verbindet.
Beide Geraden sind Durchmesser der Ellipse, ihr Schnittepunkt ist der
Mittelpunkt M der Ellipse.
Die Auflösung des linearen Gleichungssystems gibt M(-1/-1).
Anschliessend transformieren wir so, dass M Nullpunkt des neuen
Koordinatensystems (X,Y) wird.
Transformationsgleichungen:
x =X – 1 , y = Y – 1; Resultat der Transformation:
17 X^2 – 30 X*Y + 17 Y^2 = k
Erkenntnis :
Es liegt eine Schar perspektiv ähnlicher Ellipsen vor mit dem
neuen Nullpunkt als Aehnlichkeitszentrum.
MfG
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Januar, 2002 - 15:33: |
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Hi Christoph,
Im vorliegenden Beispiel 17 X^2 – 30 X*Y + 17 Y^2 = k
ist es nicht schwierig, die Hauptachsen zu ermitteln.
Die Kurve ist bezüglich der Winkelhalbierenden Y = X des
ersten und dritten Quadranten symmetrisch, da die Gleichung
in sich übergeht, wenn X und Y vertauscht werden.
Die Geraden Y= X und Y = - X sind die Hauptachsen.
Schneidest Du die Ellipsen mit diesen Geraden, so bekommst Du
als Schnittpunkte die Haupt- und Nebenscheitel der Ellipsen und
damit auch ihre Halbachsen
Im allgemeinen Fall bekommst Du die Richtungswinkel phi der
Hauptachsen mit der Formel
tan(2*phi) = 2*B / (A -C)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Halbachsen und Hauptachsenrichtungen ergeben sich besonders elegant
aus den Eigenwerten und Eigenvektoren der quadratischen Form .
Kennst Du diese Methode ?
Anmerkung.
Berechnet man den Mittelpunkt für die ursprüngliche Fassung,
so erhält man M( ½ / ½ ) ,wie Du vermutet hast.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Januar, 2002 - 15:45: |
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Hi Christoph,
Korrektur
Berechnet man den Mittelpunkt für die ursprüngliche Fassung,
so erhält man M(- ½ / - ½ ) ,wie Du vermutet hast.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
Christoph (Gregor_2)
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Januar, 2002 - 09:02: |
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Hallo,
ich glaube die Methode mit den Eigenwerten kenne ich nicht genau!
Kannst du das kurz mal vorrechnen mit den Zahlen auch aus obigem Beispiel?
Bin mir da doch relativ unsicher noch!
Danke!
Christoph |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Januar, 2002 - 22:01: |
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Hi Christoph,
Für ein vertieftes Studium der Hauptachsentransformation,
ausgehend von der quadratische Form in der Kegelschnittgleichung,
empfehle ich Dir einen Artikeln, den ich am 21.6.2001 in dieses
Board gestellt habe
.
Du findest diese Arbeit im Archiv unter dem Stichwort
„ raffinierteste“.
°°°°°°°°°°°°°°°
Abschliessend führe ich die Methode der Eigenwerte der
quadratischen Form zur Ermittlung der Halbachsen a, b
bezüglich Deiner Gleichung, welche im (X,Y)-System
17 X^2 – 30 X*Y + 17 Y^2 = k lautet, ohne weitergehende
Kommentare durch.
Koeffizienten der Matrix der quadratischen Form:
a11 = A = 17 , a12 = B = -15
a21 = B = -15 , a22 = C = 17
Determinante zur Ermittlung der Eigenwerte L ( wie lambda.)
Det = (a11-L) * (a22-L) - a12 * a21 = (17 – L) ^ 2 – 15 ^ 2
Setzen wir det gleich null, so erhalten wir die
charakteristische Gleichung; hier (17 – L)^2 = 15^2 mit den
Lösungen L1 = 32, L2 = 2 als Eigenwerte.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Dreht man nun das Koordinatensystem so, dass das gemischte
Glied XY verschwindet, so lautet die Gleichung der Ellipse in
diesem allerletzten System (u,v) so:
L1 * u^2 + L2 * v^2 = k , also
32 * u^2 + 2 * v^2 = k oder
u^2 / [k/32] + 2* v^2 / [k/2] = 1 ;
vergleichen wir dies mit der Gleichung einer allgemeinen Ellipse
in einer solchen Lage, d.h. mit
x^2 / a ^2 + y^2 / b^2 = 1 , so folgt
a^2 = k / 32 , b^2 = k / 2
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Achsenverhältnis
a : b = 1 : 4
°°°°°°°°°°°° |
Christoph (Gregor_2)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Januar, 2002 - 08:36: |
|
Hallo,
habe das nochmal alles nachvollzogen!
Vielen Dank, hat mir wirklich sehr geholfen!
Nun noch eine kurze Frage!
Man sollte KURZ zeigen, dass überhaupt eine Schar von Ellipsen vorliegt!
Ist das damit getan, dass man nur das Verhältnis der Halbachsen ausrechnet???
Kann man auch schon anhand der Gleichung f(x1,x2) sagen, dass eine Ellipsenschar vorliegt?
Oder wie zeige ich das ganz KURZ?
Bitte um einen KURZEN Lösungsvorschlag!
Danke! |
Thomas
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Januar, 2002 - 19:20: |
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Hallo megamath,
die "raffinierteste" Methode ist wirklich schön. Ich habe noch nicht weiter darüber nachgedacht, deshalb nur eine kurze Frage: Kann man sich das in 15 Minuten herleiten oder steckt da mehr dahinter?
Lob für deine ausführlichen und gut verständlichen Beiträge. Mir ist einiges wieder klar geworden, was ich irgendwo weit hinten im Gedächtnis abgelegt hatte.
(Zudem weiß ich jetzt was "Goniometrie" ist.)
Grüße,
Thomas |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Januar, 2002 - 10:39: |
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Hi Christoph,
Ich habe Deine neueste Frage bereits in einer meiner früheren
Arbeiten beantwortet und zwar KURZ und bündig:
Kegelschnittschar :
f(x,y) = 17 x^2 – 30 x y + 17 y ^2 + 4x + 4y + 4 = k
Für den Scharparameter k gelte k > = 0
Die Art des Kegelschnitts ergibt sich aus den
Koeffizienten A,B,C der quadratischen Form
F(x ,y) = A x^ 2 + 2 B x * y + C y ^ 2
Wir berechnen die Determinante det = A * C – B ^ 2
und bestimmen ihr Vorzeichen ; je nachdem D > 0, = 0 oder < 0
ist, liegt eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel vor.
Im vorliegenden Fall gilt:
A = 17, B = - 15 , C = 17 ; damit entsteht
det = 17 * 17 – 15 ^ 2 > 0 ; Entscheid: Ellipse !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Januar, 2002 - 17:25: |
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Hi Thomas,
Danke für die anerkennenden Worte !
Zur Hauptachsentransformation der quadratischen Form
F(x,y) = A* x ^2 + 2 B * x y + C * y ^2
noch dies:
Mit den Koeffizienten A,B,C bildet man die Matrix M
der quadratischen Form so:
a11 = A , a12 = B
a21 = B , a22 = C
d sei die Determinante dieser Matrix, also
d = det(M) = A*C – B^2……………………………………………(1)
Die Eigenwerte L1,L2 (wie lambda) der quadratischen
Form gewinnt man als Lösungen der charakteristischen Gleichung
(A-L)*(C-L) – B^2 = 0, vereinfacht:
L^2 – (A + C) *L + d = 0
Nach Vieta gilt:
L1 * L2 = d , d .h.......................................................................(2)
Das Produkt der Eigenwerte stimmt mit dem Wert d der Determinante
der quadratischen Form überein.
I.
Bedeutung des Vorzeichens von d
Gegeben sei die Gleichung eines Kegelschnitt in der Form
A* x ^2 + 2 B * x y + C * y ^2 = k
Die Konstante k sei positiv.
Liegt eine Ellipse oder Hyperbel vor, so fällt der Mittelpunkt
des Kegelschnitts aus Symmetriegründen mit dem Nullpunkt O
des Koordinatensystems zusammen.
Nun ermitteln wir die Steigungen m1,m2 der Asymptoten einer
solchen Kurve und schon scheiden sich die Geister:
Bei einer Hyperbel sind die Werte m1,m2 reell, bei einer Ellipse
hingegen komplex.
Idee:
Wir dividieren beide Seiten der Gleichung des Kegelschnitts
mit x^2, lassen x gegen unendlich streben und ermitteln den
Grenzwert des Quotienten y/x; dieser Grenzwert ist die Steigung
m der Asymptote.
Dabei ergibt sich m aus einer quadratischen Gleichung.
Ausführung:
A + 2 B * ( y / x ) + C * ( y / x ) ^ 2 = k / x ^ 2
Der Grenzübergang liefert :
A + 2 * B * m + C * m ^ 2 = 0
Die Diskriminante Z dieser quadratischen Gleichung lautet
Z = 4 B ^ 2 – 4 A * C = - 4 * ( A * C - B ^ 2 )
In der runden Klammer steht gerade unsere Determinante d
d > 0 bedeutet: der K.S ist eine Ellipse (imaginäre Asymptoten).
d > 0 bedeutet: der K.S ist eine Hyperbel.(reelle Asymptoten).
II.
Maximum der quadratischen Form F(x,y) auf dem Einheitskreis
x ^ 2 + y ^ 2 = 1 , erläutert am numerischen Beispiel
F(x ,y) = 3 x ^ 2 + 4 y ^ 2 .
Diese Form ist bereits auf Hauptachsen transformiert, d.h.
der Koeffizient 3 ist der eine Eigenwert L1, 4 der andere L2.
Die Determinante d ist d = 12
Zur Ermittlung der Extremalstellen entnehmen wir der
Nebenbedingung, d. h .der Kreisgleichung y ^ 2 = 1 – x ^ 2
und setzen dies in F(x,y) ein.
Es kommt eine Funktion f(x) von x allein:
f(x) = 4 – x ^ 2, daraus f `(x) = - 2 x , f ``(x) = - 2
also Maximum für x = 0 , y = plus oder minus 1
( auf der y-Achse ! ), F max = 4.
wir setzen x ^2 = 1 – y^2 in F(x,y) ein.
Es kommt eine Funktion g(y) von y allein:
g(y) = y ^ 2 + 3, daraus g `(y) = 2 y , g ``(y) = 2
also Minimum für y = 0 , x = plus oder minus 1
( auf der x-Achse ! ), F min = 3.
Jetzt wird plausibel, dass die Hauptachsen durch diejenigen Punkte
auf dem Einheitskreis laufen, welche die Extrema der quadratischen
Form auf ihm ergeben.
Uebungsaufgabe
Behandle nach diesem Muster
die Form F(x,y) = L1* x^2 + L2 * y^2 im Fall
d = L1*L2 > 0 (elliptischer Fall) und L1 < L2 wie soeben.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Thomas
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 14:32: |
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Hallo megamath,
danke erstmal für die ausführliche Antwort. Habe gerade nicht die Zeit, sie in Ruhe zu studieren. Mach ich aber noch.
Grüße,
Thomas |
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