    
leonie anders (leonie80)
Neues Mitglied
Benutzername: leonie80
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Februar, 2003 - 17:27: | 
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Hallo!
Ich habe hier ein gar nicht so kleines Problem...
Vielleicht kann mir jemand wenigstens etwas helfen
oder Tipps geben, Danke
Die Auslenkung u(x; t) einer in der (x; u)-Ebene schwingenden Saite ohne äußere Anregung
wird durch die folgende hyperbolische DGL bestimmt:
utt = a²uxx xx-tiefgestellt
Die Saite habe die Länge l und sei an den Enden fest eingespannt (u(0; t) = u(l; t) =
0). Bestimmen Sie die Auslenkung der Saite zur Zeit t in jedem Punkt x 2 [0; l] bei
Anzupfen und Loslassen zur Zeit t = 0. |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 489
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Februar, 2003 - 14:23: |
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leonie,
der Separationsansatz lautet
(1) u(x,t)=w(x)*y(t),
woraus
(2) y''/a2y = w''/w,
folgt. Da die linke Seite von (2) nicht von x und die rechte Seite nicht von t abhängt, müssen beide Ausdrücke gleich ein und derselben Konstanten k sein.
Die Allgemeine Lösung von w''=kw lautet für k>0:
w(x)=A*exp[sqrt(k)x]+B*exp[-sqrt(k)x].
Aus den Randbedingungen folgt dann A=B=0 ==>w=0.
Also muss k<0 sein : k = - l2 und wir haben die beiden gewöhnlichen Dgln.
(3) w'' + l2w=0
(4) y'' + l2a2y=0.
Die allgemeine Lösung von (3) lautet
(5) w(x)=Acos(lx)+Bsin(lx),
und die Randbedingungen ergeben
A=0, Bsin(lL)=0. Nichttriviale Lösungen existieren, falls sin(lL)=0, d.h. wenn
(6) l € {ln=np/L | n€N }.
Die allgemeine Lösung von (4) mit l=ln heisst
(7) yn(t)=
Ancos(alnt)+Bnsin(alnt).
Die Allgemeine Lösung von utt=a2uxx
entsteht durch Superposition
u(x,t) = S¥ n=1yn(t)*sin(lnx).
Jetzt muss man noch die An,Bn bestimmen,
wozu die Anfangsbedingungen heranzuziehen sind.
mfG Orion
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