| Autor |
Beitrag |
    
Sönke (Amg)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Januar, 2002 - 11:19: | 
|
Moin,
ich sitze seit gestern an einem Integral, welches durch Rekursion mit wiederholter Produktintegration auf die Anfangsglieder I0 und I1 zurückgeführt werden soll.
"Integral in den Grenzen von (0) bis (pi/2) :
(x^n)*cos(x) dx "
Ich kenne es normalerweise so, dass z.B. I6 gegeben ist und ich nun von I6 runter bis auf I0 gehen, dort I0 bei I1 einsetze und so von unten nach oben einsetze.
Würde mich riesig über ne Hilfestellung freuen.
MFG
AMG |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Januar, 2002 - 14:56: |
|
Hi Sönke,
Ich habe mir die Mühe genommen, eine geschlossene Formel für
Dein Integral herzuleiten.
Bei der Herleitung werden sukzessive partielle Ableitungen benützt;
etwas kompliziert ist das ineinander weben der entstehenden
Zwischenresultate zu einem ansprechende Ganzen.
Die Niederschrift der ausführlichen und umfangreichen Rechnung
will ich mir und Dir ersparen.
Ich empfehle Dir aber, wie sonst auch im Leben, klein anzufangen,
etwa bei n = 3 ; bearbeite alsdann noch die Fälle n = 4 und 5,
spätestens bei n = 6 erkennst Du den Algorithmus.
Ich gebe Dir die Formel für J(n) und anschliessend die Ergebnisse
für n = 4 bis und mit n = 7 bekannt.
Am besten ist es, wenn Du noch die Fallunterscheidung
a) gerades n b) ungerades n vornimmst.
a)
n gerade
J(n) = sum [(-1)^k * n! / (n-2 k)! * (Pi/2)^(n - 2 k) ]
Der Summationsindex k läuft von k = 0 bis k = n / 2 .
b)
n ungerade
J(n) = sum [(-1)^k * n! / (n-2 k)! * (Pi/2)^(n - 2 k) ] – ( - 1 ) ^ m * n!
Der Summationsindex k läuft von k = 0 bis k = m ,wobei m
die ganze Zahl (n-1) / 2 darstellt
Beispiele
J(4) = 1/16 * Pi ^ 4 - 3 Pi ^ 2 + 24
J(5) = 1/32 * Pi ^ 5 - 5 / 2 * Pi ^ 3 + 60 * Pi - 120
J(6) = 1/64 * Pi ^ 6 - 15 / 8 * Pi ^ 4 + 90 * Pi ^2 - 720
J(7) = 1/128 * Pi ^ 7 - 21/ 16 * Pi ^ 5 + 105 * Pi ^3 - 2520 * Pi + 5040.
Das sollte genügen !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Orion (Orion)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Januar, 2002 - 15:06: |
|
Soenke :
Ich schlage vor, gleich 2 Fliegen mit einer Klappe zu schlagen :
Betrachte
I(n) := int[0..Pi/2]x^n*exp(ix)dx.
Dann ist
C(n) := int[0..Pi/2]x^n*cos(nx)dx = Re I(n),
S(n) := int[0..Pi/2]x^n*sin(x)dx = Im I(n).
2-malige partielle Integration ergibt (rechne nach !)
I(n) = (Pi/2)^n + n*i*(Pi/2)^(n-1)-n(n-1)*I(n-2)
( n >=2)
==>
C(n) = (Pi/2)^n - n(n-1)*C(n-2)
S(n) = n*(Pi/2)^(n-1) - n(n-1)*S(n-2)
Die Anfangswerte C(0),C(1), S(0),S(1) sind
kein Problem.
mfg
Orion |
Sönke (Amg)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Januar, 2002 - 17:36: |
|
Hi H.R.Moser (megamath), Orion
super vielen Dank für eure Mühe. Tja scheint ja doch nicht ganz so einfach zu sein :-) .
Werde ich jetzt mal in aller Ruhe nachrechnen.
MFG
Sönke |
|
