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Beitrag |
    
Vanessa P. (Vanessa21)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Januar, 2002 - 19:05: | 
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Hallo!
Wie beweise ich, dass 1- x^(2^(m+1)) = (1-x) (1+x) (1+x^2)( 1+x^4)...(1+x^(2^(m))) und leite dann ab, dass (1-x)^(-1) = (1+x) (1+x^2) (1+x^4)... ?
lg,
Vanessa |
Viktor
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Januar, 2002 - 20:07: |
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Hallo Vanessa P.,
ich denke, die zweite Behauptung darf nur für |x|<1 gelten, siehe dazu unten.
Die Behauptung schreibe ich so:
1- x^(2^(m+1)) = (1-x) P k=0k=m (1+x^(2^k))
Beweis mit vollständiger Induktion nach m.
Induktionsanfang m=0 oder m=1: Behauptung ist richtig
Induktionsschritt:
1- x^(2^m+1) = (1-x) P k=0k=m (1+x^(2^k)) |*(1+x^(2m+1)
[ 1- x^(2^m+1) ] * [ (1+x^(2m+1) ] = (1-x) * (1+x^(2m+1) P k=0k=m (1+x^(2^k))
linke Seite: dritte binomische Formel,
rechte Seite: der letzte Faktor war (1+x^(2^m)), neu hinzu kommt derselbe Faktor mit m+1 anstatt m, also läuft die Produktbildung von k=0 bis k=m+1:
1- x^(2*2^m+1) = (1-x) P k=0k=m+1 (1+x^(2^k))
also wurde die Behauptung für m+1 aus der Behauptung für m gefolgert => Behauptung ist wahr.
Es gilt also:
1- x^(2^(m+1)) = (1-x) (1+x) (1+x^2)( 1+x^4)...(1+x^(2^(m)))
dividiere beidseitig durch (1-x) und lasse m gegen unendlich gehen => 1- x^(2^(m+1)) geht gegen 1 (nur für |x|<1!)
und damit folgt sofort
(1-x)^(-1) = (1+x) (1+x^2) (1+x^4)...
nur für |x|<1, Beispiel: x=2
(1-2)^(-1) = -1, also etwas negatives, auf der rechten Seite stehen aber nur positive Terme:
(1+2)*(1+2^2)*(1+2^4)*..., was nie gleich -1 werden kann. |
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