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Tiffany (T_L)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Januar, 2002 - 16:40: | 
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Hallo ihr da!
Ich habe folgendes Problem:
Seien m, n natürliche Zahlen mit 2 £ n ³ m. Dann gibt es keine natürlichen Zahlen x, y > 0, die die Gleichung
xn + yn = xmyn-m
erfüllen.
Ich steh völlig auf dem Schlauch...
T.L. |
AlexW
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Januar, 2002 - 21:20: |
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Hallo!
1. Offenkundig kommen nur gerade x und y als Lösung in Frage. Schreibe also x=2^k*a und y=2^l*b mit a,b ungerade Zahlen, k,l natürliche Zahlen. Beachte hierbei: a ungerade => a^n ungerade!
2. Eingesetzt ergibt dies: 2^(k*n)*a^n + 2^(l*n)*b^n = 2^(k*m + l*n - l*m)*a^m*b^(n-m).
3.Sei nun k>l. Dann kürze mit 2^(l*n) und erhalte 2^((k-l)*n)*a^n + b^n = 2^((k-l)*m)*a^m*b^(n-m). Wegen k-l > 0 steht jetzt links eine ungerade Zahl und rechts eine gerade Zahl. Widerspruch. Sei nun k=l.
dann erhält man a^n + b^n = a^m*b^(n-m). Da a,b ungerade, steht links eine gerade Zahl und rechts eine ungerade. Widerspruch. k<l ist analog k>l.
qed
Mfg Alex |
Astrid Sawatzky (Sawatzky)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Januar, 2002 - 18:59: |
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Hallo ALex, Hallo Tiffany
Alex
1) Wieso offenkundig nur gerade Zahlen?
2) Seit wann ist offenkundig eine Grundlage für einen Mathematischen Beweis?
3) es soll für alle natürlichen Zahlen x,y, also auch die ungeraden gelten.
und los:
Voraussetzung : x,y >0 und 2<=n und n>= m
x^n + y^n = x^m*y^(n-m)
<=>
x^n + y^n = x^m * y^n / y^m
auf beiden Seiten durch y^n
x^n/y^n +1 = x^m/y^m
1=x^m/y^m -x^n/y^n für m=n folgt 1 = 0
(Teilvoraussetzung ausgeschlossen)
also muß n > m
mit a^b = a^c * a^(b-c)
folgt
1= x^m/y^m -(x^m*x^(n-m))/(y^m*y(n-m))
auf beiden Seiten mal (y^m/x^m)
y^m/x^m= 1 - x^(n-m)/y^(n-m)
1. Fall x = y
1 = 1 -1
also 1 = 0 ( falsch)
2. Fall x < y da x,y >0
y^m/x^m > 1
und
1-x^(n-m)/y^(n-m) < 1
widerspruch (>1) = (<1)
3. Fall x > y
0 < y^m/x^m < 1
und da x^(n-m)/y^(n-m) > 1
1-x^(n-m)/y^(n-m) < 0
widerspruch (>0) = (<0)
was zu beweisen war.
Gruß Astrid |
AlexW
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Januar, 2002 - 07:56: |
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Offenkundig ist nur eine Abkürzung dafür, das die Aussage trivial ist und kinderleicht nachgeprüft werden kann; in diesem Falle ist es trivial, das nur zwei gerade Zahlen x,y als Lösung in Frage kommen. Dies liegt daran, das das Produkt einer ungeraden und einer geraden Zahl gerade ist, die Summe jedoch ungerade und das Produkt zweier ungeraden Zahlen ungerade ist, die Summe jedoch gerade. Und solche billigen Aussagen (die man vom Leser voraussetzen können sollte) erspart man sich eben mit offenkundig, oder meinst Du, man würde in einem ernsthaften math. Beweis noch mal Dinge z.B. aus Analysis II beweisen???
Also denke doch bitte erst mal nach, bevor Du grundlos Beweise kritisierst!
Alex |
Astrid Sawatzky (Sawatzky)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Januar, 2002 - 17:22: |
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liebe/ lieber Alex,
wenn ich mich im Ton vergriffen habe, bitte ich dies zu entschuldigen.
Gruß Astrid |
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