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Cédric (Pezzä)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Januar, 2002 - 15:13: | 
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Wer kann mir helfen diese Aufgabe zu lösen?
Man zeichne ein beliebiges Viereck. Über jeder Seite zeichne man ein Quadrat nach ausse. Die Mittelpunkte gegenüberliegender Quadrate werden miteinander durch Strecken verbunden.
Zeige: Die beiden Strecken sind gleich lang und stehen senkrecht (mit komplexen Zahlen... Tipp: Koordinatensystem einführen.
(u.a. lässt er sich auch für Dreiecke formulieren!?)
Ich wäre dankbar wenn mir jemand behilflich sein könnte. |
Orion (Orion)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Januar, 2002 - 17:49: |
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Hallo Cedric :
Hier ein Hinweis : Die Ecken seien 0,a,b,c
(aufgefasst als komplexe Zahlen). Den Mittelpunkt
m_1 des Quadrates über (0,a) erhaelt man durch
Drehstreckung des Vektors (0,a) um Pi/4 im
Uhrzeigersinn mit Streckfaktor 1/sqrt(2), d.h.
m_1 = e^((-Pi/4)*i)*(1/sqrt(2))*a.
Analog ergeben sich die 3 restlichen Mittelpunkte
m_2,m_3,m_4. Der Rest ist Rechnung mit
komplexen Zahlen.
Der entsprechende Satz für Dreiecke lautet :
Errichtet man über den Seiten eines beliebigen
Dreiecks gleichseitige Dreiecke, so bilden deren
Mittelpunkte ein Gleichseitiges Dreieck.
Das Napoleon der Urheber ist, dürfte eine fromme
Legende Sein.
Have fun
Orion |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Januar, 2002 - 18:52: |
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Hi Cédric,
Wenn für die Lösung Deiner Aufgabe vorgeschrieben wird, dass ein
rechnerischer Beweis geführt werden soll, insbesondere mit
komplexen Zahlen, hat Orion Dir den richtigen Weg gewiesen.
In der Regel wird dieser Satz jedoch in der Sparte
„konstruktiven Abbildungsgeometrie“ hergeleitet.
Der Hinweis auf Napoleon betrifft meines Wissens einen anderen Satz,
der sich auf Dreiecke bezieht.
(Napoleon als Artillerist und Hobyymathematiker !)
Interessante Sätze über Dreiecken, bei denen über den Seiten nach aussen
gleichseitige Dreiecke errichtet werden,
habe ich vor längrer Zeit in zwei umfangreichen Arbeiten in dieses Board
gestellt.
Siehe im Archiv nach unter den Stichwörtern
“Fagnano“ (vom 25.8.2000) und “Napoleon“ (vom 12.2.2001).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Januar, 2002 - 18:55: |
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Hi Cédric,
Korrektur:"Hobby" !
MfG
H.R.Moser,megamath |
Orion (Orion)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Januar, 2002 - 14:26: |
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Cedric :
Megamath hat Recht, solche Aussagen beweist man
am elegantesten mit Mitteln der Abbildungsgeometrie. Der Beweis mit komplexen
Zahlen ist aber immerhin eine gute Uebung,
nützlich für das Verstaendnis der Geometrie der
komplexen Ebene. In Ergaenzung meines Hinweises
hier ein kompletter Loesungsvorschlag.
Die genannte Drehstreckung um Pi/4 (im positiven Sinn) mit Streckfaktor 1/sqrt(2) wird bewirkt durch Multiplikation mit der Zahl
w = (1/sqrt(2))*exp((Pi/4)*i) = (1+i)/2.
Rechne nach, dass
m_1 = -iwa , m_2 = a - iw(b-a), m_3 = c + w(b-c),
m_4 = wc.
Beachte noch, dass (1+iw)=w und 1-w = - iw, dann
siehst du, dass
m_4 - m_2 = i*(m_3 - m_1)
Darin stecken beide Behauptungen (beachte, dass
Multiplikation mit i gleichbedeutend mit Drehung
um 90 Grad ist).
mfg
Orion |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Januar, 2002 - 16:29: |
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Hi Orion,
Ich begrüsse es jedes Mal sehr,wenn es dazu kommt,dass wir fast zeitgleich
eine und dieselbe Anfrage beantworten.
Das kann nur lehrreich für die Studierenden sein, die Tatsache nämlich,
dass wir in der Regel auch verschiedene Methoden verwenden, die bisher
immerhin stets zu gleichen Ergebnissen geführt haben.
Ich wollte jedoch zu einem ganz andern Thema eine Kleinigkeit beifügen:
zum amüsanten Thema Napoleon Bonaparte (1769-1821) als
Hobby-Mathematiker.Diese Bezeichnung scheint nicht ganz aus der Luft
gegriffen zu sein.
I.
Im Brockhaus finden wir gerade nach dem Eintrag „Napoleonshut“
die Notiz:
Napoleons Satz
mathem.Satz über Dreiecke: Die Mitten der über den Seiten eines beliebigen
Dreiecks konstruierten gleichseitigen Dreiecke sind die Ecken eines
gleichseitigen Dreiecks .
Bravo !
II
Zitat aus C.J.Scriba / P.Schreiber :5000 Jahre Geometrie,
Springer-Verlag.
„Wir wollen aber noch das Kuriosum berichten, dass der bekanntlich
mathematisch interessierte Napoleon Bonaparte während seines
Italienfeldzuges die persönliche Bekanntschaft Mascheronis
( Mascheronische Konstante ! ) machte, als dessen Buch gerade vollendet,
aber noch nicht im Druck erschienen war.
Voller Stolz über den dadurch gewonnenen Vorsprung legte er nach seiner
Rückkehr nach Paris den berühmten französischen Mathematikern
ein „ganz einfaches“ Konstruktionsproblem vor und freute sich ,
dass diese es natürlich nicht aus dem Stand lösen konnten .
III
Das Interesse an Mathematik hat sich auch auf andere Mitglieder des
Napoleon-Clans übertragen, besonders auf seinen Neffen Louis Napoléon,
den spätern Napoleon III (1808-1873)
Ich hatte mehrmals Gelegenheit, am Exilort seiner Mutter, der Königin Hortense,
der Stieftochter von Napoleon I, im Schloss Arenenberg (in der Näh von Konstanz)
in der Bibliothek zu stöbern.
Hier befinden sich recht zahlreiche und renommierte Werke französischer
Mathematiker,insbesondere aus der Geometrie.
Napoleon III. besuchte übrigens das Gymnasium in Augsburg und
die Militärschule im schweizerischen Thun.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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