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Beitrag |
    
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Januar, 2002 - 19:38: | 
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Hallo allerseits,
Da ich schon einige Aufgaben im Board gelöst habe,
sollte es mir gestattet sein, selbst eine Aufgabe zu stellen,
der ich in Florida begegnet bin und die mir Kopfzerbrechen
bereitet.
Sie lautet im Originaltext so:
The area enclosed by a curve defined through the equation
x^(b/c) + y^(b/c) = a^(b/c)
where a > 0 , c a positive odd integer and b a positive even
integer is given by
[Gamma (c / b)] ^ 2 / Gamma (2 c / b) * [ 2c * a^2 / b ]
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Findet jemand einen Lösungsweg ?
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Januar, 2002 - 07:37: |
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Hallo allerseits,
Wir unterziehen die Formel einem Test, indem wir zwei Spezialfälle
überprüfen.
1.Fall
Für b = 2 , c = 1 entsteht ein Kreis mit dem Radius a:
x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2
Wir benützen den bekannten Wert der Gammafunktion
Gamma ( ½ ) = wurzel(Pi) und berechnen mit der angegebenen Formel
die Kreisfläche A:
A = [Gamma (c / b)] ^ 2 / Gamma (2 c / b) * [ 2c * a^2 / b ] =
[Gamma ( ½ )] ^ 2 / Gamma ( 1 ) * [ 2 a^2 / 2 ] = Pi * / 1 * a^2 =
Pi * a ^ 2 , wie es sein muss !
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2.Fall
Für b = 2 , c = 3 entsteht die Astroide mit der Gleichung
x ^ (2/3) + y ^ (2/3) = a ^ (2/3)
Wir benützen zusätzlich zum Wert der Gammafunktion
Gamma ( ½ ) = wurzel(Pi) die Formel
Gamma(1+p) * Gamma(1-p) = (p*Pi)/ sin(p*Pi)
und berechnen damit
Gamma(3/2),indem wir p= ½ einsetzen
Es kommt: Gamma(3/2) = ½*Pi / wurzel(Pi) = ½ *wurzel(Pi)
Für positive ganze Zahlen p gilt ausserdem:
Gamma(p) = (p-1)!,somit entsteht mit der angegebenen Formel
die Fläche der Astroide A:
A = [Gamma (c / b)] ^ 2 / Gamma (2 c / b) * [ 2c * a^2 / b ] =
[Gamma (3/2)] ^ 2 / Gamma ( 3 ) * [ 6 * a^2 / 2 ] =
¼ Pi / 2! * 3 a ^ 2 =
3 / 8 * Pi * a ^ 2 , wie es sein muss !
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So weit, so gut !
Wie weiter ?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 793
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Juli, 2003 - 19:13: |
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Hi,
nach mehr als einem Jahr, habe ich versucht die Relation herzuleiten, damit diese schöne Aufgabe nicht in den unendlichen Weiten des Zahlreich Imperiums verschwindet, megamath du kannst ja mal ein Blick drauf werfen:
x(b/c) + y(b/c) = a(b/c)
Zunächst setze ich (b/c)=s
Umformen: y= [as - xs](1/s)
Wir berechnen das Integral dieser Funktion im I.Quadranten, von null bis a, wir gleichen durch multplizieren mit 4 aus!
4*ò0 a [as - xs](1/s) dx
1.Substitution:
x = a*z ===> dx = a*dz ==> Grenzen ändern
4*a²*ò0 1 [1 - zs](1/s) dz
2.Substitution
z=w(1/s) ==> dz = (1/s) * w[(1/s)-1]
(4*a²)/s*ò0 1 w[(1/s)-1]*[1 - w](1/s) dw
Die entspricht dem Betafunktion für B( [1/s] , [(1/s)+1] )
nun bringe ich die Gammafunktion ins Spiel:
B( [1/s] , [(1/s)+1] ) = {G(1/s)*G([1/s]+1)}/G([2/s]+1)
Das lässt sich mit Hilfe der Funktionalgleichung der Gammafunktion überführen zu:
G^2(1/s)/2*G(2/s) dass noch mit der Konstanten multiplizieren und s=b/c zurücksetzen
Insgesamt also:
4*ò0 a [as - xs](1/s) dx
= (2*a²*c)/b * G^2(c/b) / G([2*c]/b) q.e.d.
mfg
(Beitrag nachträglich am 07., Juli. 2003 von tl198 editiert) |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 794
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Juli, 2003 - 18:42: |
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Hi megamath ,
ein kurzer Kommentar würde mich interessieren, kann man diese Aufgabe so lösen? Mir kam diese Idee in einer schlafenlosen Nacht in der Kaserne!
Diese schöne Aufgabe darf nicht wieder verschwinden!
mfg aus der General-Weber-Kaserne |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 766
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Juli, 2003 - 18:53: |
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Hi Megamath,
auch ich bin an einem statement deinerseits interessiert.
Ferdi und ich sind den Beweis zusammen durchgegangen-d.h er hat ihn mir zur Prüfung vorgelegt. Und ich bin ganz zufrieden damit. Ich denke der ist richtig so! |
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