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DGL mit integrierendem Faktor (kann d...

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Christoph (Gregor_2)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Januar, 2002 - 10:42:   Beitrag drucken

Man löse folgende DGL mit einem integrierenden Faktor A (A ist nur von y abhängig!!)!

(x-y)y²dx + (1-xy²)dy = 0

Die Gleichung soll also so mit A miltipliziert werden können, dass die DGL exakt wird, also dass gilt:

d[(x-y)y²]/dy = d[1-xy²]/dx

Mir ist vorallem wichtig, dass ich den integrierenden Faktor A finde, der nur von Y abhängig ist!!!!
Den restlichen Lösungsweg kann ich dann alleine finden.

Danke!
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Fern
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Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Januar, 2002 - 18:20:   Beitrag drucken

Hallo Christoph,
Zuerst etwas Theorie:
Die Dgl: M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
heißt "exakt" wenn die partiellen Ableitungen:
My = Nx sind.
In unserem Beispiel: (xy²-y³)dx + (1-xy²)dy = 0
entspricht: M(x,y)=xy²-y³
und N(x,y)=1-xy²
sind die obigen partiellen Ableitungen nicht gleich, die
Dgl ist also nicht exakt.
=============
Ein integrierender Faktor (ich nenne ihn µ(x,y)) ist im
Allgemeinen äußerst schwer zu finden, weil die Suche meist auf eine Dgl führt, die noch schwerer zu lösen ist wie die ursprüngliche Dgl.
Es gibt aber glücklicherweise eine Ausnahme: wenn µ nur von x oder nur von y abhängt, so kann man den integrierenden Faktor leicht finden.
==========================
Bedingung dass µ(y) existiert:
Wir multiplizieren die Dgl also mit µ(y):
µMdx + µNdy = 0
Bedingung für Exaktheit:
Ich schreibe kurz µ, M, N anstatt µ(y),M(x,y) ,N(x,y)
(µM)y - (µN)x = 0
Wir bilden die Ableitungen:
y + µMy - µNx = 0
daraus:
µy = µ(Nx - My)/M
Die Bedingung, dass die linke Seite µ nur von y abhängt ist,
dass auch (Nx - My)/M nur Funktion von y allein ist.
==============================
Zurück zu unserem Beispiel:
My = 2xy-3y²
Nx = -y²
und der Ausdruck: (Nx - My)/M = (-y²-2xy+3y²)/(xy²-y³) = -2/y
also wirklich nur eine Funktion von y allein. µ(y) existiert also
(wie auch schon in der Angabe erwähnt ist)
=============================
Wir setzen in die blaue Gleichung ein:
µy = -2µ/y dies ist nun eine Dgl, die wir mit Trennung der Variablen lösen:
dµ/dy = -2µ/y
dµ/µ = -2dy/y
ln(µ) = -2ln(y) = ln(1/y²)
µ = 1/y²
===========================
Wir probieren dieses Resultat gleich aus und multiplizieren
unsere ursprüngliche Dgl mit 1/y²
(x-y)dx +(1/y²-x)dy = 0
=================
Und sieh da:
(x-y)y = -1
(1/y²-x)x = -1
Die Dgl ist also exakt und kann mit bekannten (?) Methoden gelöst werden.
===============================================

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