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Meike
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Januar, 2002 - 19:11: | 
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Ich weiß leider nicht mehr, wie das funktioniert und bin für jede Hilfe dankbar.
Für jedes n e N bestimme man die lokalen und globalen Extrema der Funktion:
fn: [0,oo) -> R, fn(x)=xne-x
Tausend Dank.
Gruß, Meike |
DenisAK1985
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Januar, 2002 - 15:42: |
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Also, erstmal lassen wir uns von dem n gar nicht stören, sondern leiten mal ganz gewöhnlich und simpel ab!!! Je nachdem, mit Kettenregel und Produktregel geht das schnell:
f'(x)=(n-x)x^(n-1)e^(-x)
und f''(x)=x^(n-2)e^(-x)(n^2-2nx+x^2-n).
Wie man jetzt gut sieht, existieren für f'(x)=0
genau zwei Lösungen:
x=0 oder x=n für n e N>0
Ist n=0 existieren gar keine Nullstellen!
Setzt man 0 nun in f''(x) ein, wird diese ebenfalls 0!!! Also ist das Vorzeichenwechsel-Kriterium zu prüfen:
Für x gößer -> 0 f'(x) immer positiv (unabhängig von n)
Für x kleiner -> 0 f'(x) (für n ungerade) positiv
Für x kleiner -> 0 f'(x) (für n gerade) negativ
Also haben wir einen Sattelpunkt bei P(0|0) für alle ungeraden n und für alle geraden n ein lokales Minimum!!!
f''(n)=-n^(n-1) <0 für alle n e N>0; also lokales Max bei P(n|n^n*e^(-n).
Naja, da ich nie nach globalen Extrema prüfe, muss ich mich jetzt eines von mir entwickelten Verfahens bemühen:
Da es sich um keine gebrochene Funktion, das heißt mit Def.lücke handelt, kann man stetigkeit vorraussetzen!!!
Für den Fall, dass bei (0|0) ein Minimum ist, und die Funktion für x-> -unendlich und gerade n (wobei nur ein Minimum dort existiert) gegen positiv unendlich strebt und die Funktion für x-> positiv unendlich gegen 0 unabhängig von n strebt, ist das lokale Min also ein globales!!!!!
Das Maximum existiert immer, also egal welchen Wert n>0 annimmt!!! Da aber x->positiv unendlich gegen 0 strebt und x-> negativ unendlich für ungerade n gegen -00 strebt, ist in diesem Fall das Max global!!! Ist n jedoch gerade, so geht der Limes gegen +00, also ist nicht das in diesem Fall lokale Max nicht das globale!!!
Hoffe du konntest mit meiner Argumentation etwas anfangen!! Mag sein, dass man das Problem der globalen Extrema auch etwas mathematischer bearbeiten kann *g*!!!! |
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