| Autor |
Beitrag |
    
Sabine (Bine)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Januar, 2002 - 12:27: | 
|
Hallo zusammen,
ich brüte hier über einer Aufgabe und brauche etwas Hilfe:
Es sei A die von den Restklassen 1/6tel, 2/15tel, 3/35tel und 4/77tel in Q/Z erz. Untergruppe.
Man zeige: A ist zyklisch und berechne ein erteugendes Element von A.
Nun hat ein Element x aus A ja sicherlich die Darstellung x = µ_1*a + µ_2*b + µ_3*c + µ_4*d mit µ_i aus Z und a,b,c,d sollen die Brüche von oben sein.
Es gilt ord(a)=6=2*3, ord(b)=15=3*5, ord(c)=35=5*7 und ord(d)=77=7*11.
Die Ordung des erz. Elementes x ist doch dann <= kgV(6,15,35,77)=2310. und ord(x) teilt 2310.
Tja, und hier stecke ich fest...
Vielleicht weiss ja jemand weiter.
Viele Grüße
Bine. |
Thomas
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Januar, 2002 - 19:21: |
|
Hallo Bine,
das kann jetzt total falsch sein - ich hatte mit sowas schon ewig nichts mehr zu tun. Aber könnte nicht 1/2310 das erzeugende Element sein?
Thomas |
Lars Brünjes (Lbrunjes)
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Januar, 2002 - 10:06: |
|
Hallo, Bine!
Wegen kgV(6,15,35,77)=2310 ist A eine Untergruppe der Gruppe B:=(1/2310)Z/Z, die offenbar(!) isomorph ist zu der zyklischen Gruppe B':=Z/2310Z - wobei ein Element mit Repräsentant x/2310 aus B auf das durch x repräsentierte Element von B' abgebildet wird.
Also ist A als Untergruppe einer zyklischen Gruppe zyklisch.
Bleibt die Frage nach einem erzeugenden Element. Sei A' das Bild von A in B' unter obigem Isomorphismus, d.h. A' ist die von 2310a=:a'=385, 2310b=:b'=308, 2310c=:c'=198 und 2310d=:c'=120 in B' erzeugte Untergruppe.
Nun sind aber a',b',c' und d' teilerfremd; z.B. gilt:
a'+12b'-34d'=1
Also liegt das von 1 repräsentierte Element, welches natürlich ein Erzeuger von B' ist, in A', und es folgt A'=B'. Dann muß natürlich auch A=B gelten, d.h. Thomas hat recht - 1/2310 ist ein Erzeuger.
Viele Grüße -
Lars |
Sabine (Bine)
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Januar, 2002 - 13:36: |
|
Hi Ihr 2,
erstmal schönen Dank für Eure Erläuterungen.
Dann lag ich mit dem Nenner des Erzeugers ja schon mal richtig. So ähnlich dachte ich es mir auch, aber Lars hat es wirklich auf den Punkt gebracht.
Danke.
Bine |
|
