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Beitrag |
    
N.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Januar, 2002 - 16:28: | 
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Hallo Kolegen,
Ich habe mal eine nette kleine Aufgabe für euch:
Man beweise:
ò-¥ ¥ e^(-x^2)dx=Öp
Gruß N. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Januar, 2002 - 19:52: |
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Hi N
Von der Bedeutung her, welches das so genannte Fehlerintegral
unbestritten besitzt, gibt es entsprechend mehrere Herleitungen.
In petto habe ich deren drei.
Welche man wählt, hängt unter anderem davon ab, welche
Voraussetzungen das Auditorium mitbringt.
Wenn ich die Zeit dazu aufbringen kann, führe ich Dir gerne
wenigstens zwei Herleitungen vor.
Heute biete ich eine Methode, die mir gerade einfällt.
Für das Verständnis ist die Kenntnis der Gammafunktion erforderlich
und zwar diese:
Gamma( ½ ) = int [e^ (-x) * x ^ (- ½ ) * dx ] = wurzel (Pi)
Beim Integral setze als untere Grenze 0 , als obere Grenze unendlich.
Nun substituieren wir wurzel (x) = t , als x = t ^ 2 , dx == 2 t dt
Es entsteht mit denselben Grenzen beim Integral:
2* int [ e ^ ( - t^2 )* t^(-1) * t * dt ] = int [ e ^ ( - t^2 ) * dt ] = wurzel(Pi) ,
was zu zeigen war.
Fortsetzung folgt (mit Unsicherheitsfaktor)
MfG
H.R.Moser,megamath |
N.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Januar, 2002 - 21:52: |
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Hallo Hans Rudolf,
diese Herleitung von dir entspricht der die ich schon im "Netz" gefunden Habe.
Fehlerintegral
Dort wird auch vom Lebesgueschen Konvergenzsatz gesprochen-warum dieser Beitrag auch den Namen Lebesgueschen Konvergenzsatz trägt.
Neben einem Beweis des Lebesgueschen Konvergenzsatzes, der mich besonders interessiert, würde ich mich über nähere Informationben zur "Gammafunktion" freuen. Hat die Gammafunktion nicht etwas mit Herrn Euler zu tun?
Gruß N. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Januar, 2002 - 22:31: |
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Hi N
Ich zeige jetzt den wohl bekanntesten Beweis, der mir persönlich
am besten gefällt.
Das einfache Gausssche Fehlerintegral
J = int [e^ (-x^2) * dx ] ; für x: untere Grenze null, obere Grenze unendlich,
wird auf die Berechnung eines Doppelintegrals zurückgeführt.
Es gilt ebenfalls
J = int [e^ (-y^2) * dy ] ; für y: untere Grenze null, obere Grenze unendlich,
Multipliziert man die beiden Beziehungen, so folgt:
J^2=int [e^ (-x^2) * dx ] int [e^ (-y^2) * dy ] = int [int e ^{- (x^2+y^2)}*dx]*dy]
Grenzen : die bereits genannten
Dieses Doppelintegral stellt das Volumen eines Körpers dar, welcher bezüglich
Eines cartesischen (x,yz)-Koordinatensystems ganz im ersten Oktant liegt und nach
oben durch die Rotatiosfläche z = e ^{- (x^2+y^2)} begrenzt wird.
Nach unten wird der Körper durch die xy-Ebene begrenzt, seitlich durch die anderen
Koordinatenebenen.
Empfehlung: skizziere die Situation oder noch besser: stelle den Körper mit
Maple in PLOT3D dar.
Jetzt führen wir Polarkoordinaten (r, phi) ein. Wir erhalten:
J^2 = int[int e^(- r^2) r d(phi) dr ]]
untere Grenze für phi:0 ,obereGrenze für phi: ½ * Pi
untere Grenze für r :0 ,obereGrenze für r: unendlich.
Hilfreich ist die Substitution r^2 = - t , 2 r dr = - dt
Die Grenzen für phi bleiben, diejenigen für t sind neu:
Unten 0 , oben MINUS unendlich.
Damit erhalten wir:
J^2 = - ½ * int [ d(phi) int[e^ t * dt ]] = - ½ * int[d(phi) [0-1]]
Die eckige Klemmer[0 – 1] entsteht dadurch, dass in e^ t für t zuerst
die obere Grenze minus unendlich und dann für t die untere Grenze 0
gesetzt und die Differenz 0 – 1 gebildet wird.
Damit kommt :
J^2 = ¼ * Pi , also J = ½ * wurzel (Pi), w.z.b.w.
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Mit freundlichen Grüßen
H,R.Mose,megamath. |
N.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Januar, 2002 - 13:22: |
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Hi Megamath,
ist ja interessant. Nur leider habe ich noch Probleme mit den netten "Doppelintegralen".
Allerdings habe ich im Netz noch ein weiteren netten Beweis gefunden.
vieleicht könntest du ihn ja mal etwas Kommentieren.
Hier der Link:
Gammafunktion und Pi
Gruß N. |
Schuster (s_oeht)
Junior Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. April, 2002 - 17:17: |
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Hi Megamath,
Ich hab mal ne frage zu deiner zweiten herleitung:
wieso liegt der körper im erstem oktanten die funktion e^(-x^2-y^2)stellt doch einen körper dar, der rotationsymmetrisch zur z-Achse ist.Oder welche körper meinst du?
Zweitens wäre ich dir sehr dankbar, wenn du das einführen der polarkoordinaten etwas erläutern würdest.Ich habs selbst mal versucht (x=r*cos(phi) und y=r*sin(phi)),wenn ich das aber eingesetzt habe und die differentiale umgerechnet so unterschied sich mein ergebnis von deinem immer um den faktor (cos(phi))^2.
Wo liegt mein fehler bzw. wie macht mans richtig? |
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