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N.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Januar, 2002 - 16:25: | 
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Hallo Kolegen,
Ich habe mal eine nette kleine Aufgabe für euch:
Man beweise:
ò-¥ ¥ e^(-x^2)dx=Öp
Gru9 N. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Januar, 2002 - 11:35: |
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Hi N,
Es folgt eine dritte Herleitung, welche vom Stil her am ehesten
den Methoden von Euler entspricht.
Es wird dabei auch auf das Produkt von Wallis Bezug genommen,
mit dem sich Euler ausgiebig beschäftigt hat (siehe Anhang).
Zuerst stellen wir die nötigen Hilfsformeln (ohne Beweise) zusammen.
Die Herleitung des Fehlerintegrals beruht auf allen diesen Formeln
und wird wie ein Puzzle aus ihnen aufgebaut.
I.
Zwei Integrale:
int [(1 – x ^ 2) ^ n * dx = [2*4*6 *...* (2n)] / [3*5*7…*(2n+1)] ,
untere Grenze 0,obere Grenze 1
int [(1 / (1 + x ^ 2) * dx = [1*3*5 *...* (2n-3)] / [2*4*6…*(2n-2)] ,
untere Grenze 0,obere Grenze unendlich.
II.
Produkt von Wallis
lim [2*4*6 *...* (2n)] / [1*3*5*7…*(2n-1) * 1 / wurzel(n) ] = wurzel (Pi)
lim für n strebt gegen unendlich.
III
Transformationen von Integralen mittels Substitution
W =int [e^(-x^2) * dx ],
untere Grenze 0, obere Grenze wurzel(n)
Substitution: x = wurzel(n) * t, dx = wurzel(n) * dt ;mithin:
W = wurzel(n) * int [e^(-n*t^2) * dt ] = wurzel(n) * int [e^(-n*x^2) * dx ],
untere Grenze 0, obere Grenze 1 !
analog: aus
U = wurzel(n) * int [e^(-n*x^2) * dx ] mit
unterer Grenze 0, oberer Grenze unendlich, wird
U = int [e^(- t^2) * dt ] = int [e^(- x^2) * dx ] = J ,das ist das Fehlerintegral,
wobei
die untere Grenze 0, die obere Grenze unendlich ist.
IV
Ungleichungen
Aus der graphischen Darstellung der Exponentialfunktion y =e^x
samt ihrer Tangente y = x + 1 im Schnittpunkt mit der y -Achse
erhalten wir die Ungleichung :
1+ z < = e ^ z ; Konsequenzen:
1 – z < = e ^ ( - z ) < = 1 / ( 1 + z ) und für positive ganze n :
(1 – x ^ 2) ^ n < = e ^ ( - n x ^ 2 ) < =1 / ( 1 + x ^ 2 ) ^ n
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Das Gleichheitszeichen gilt nur für x = 0.
Damit ist die Vorbereitungsphase zu Ende, und wir entwickeln nun
kommentarlos eine Ungleichungskette mit dem Ziel, das Integral J
in ein Sandwich zu pressen.
Das Ergebnis wird sein, dass Anfang L und Ende R der Kette für n gegen
unendlich je denselben Grenzwert G = ½ * wurzel(Pi) haben, sodass
auch J = G gilt.
Die Kette lautet
wurzel(n)*[2*4*6 *...* (2n)] / [3*5*7…*(2n+1)] <
wurzel(n)* int [e^(-n*x^2) * dx ] = (Gleichheit!)
(unterer Grenze 0, oberer Grenze unendlich)
int [e^(-x^2) * dx ] <
(untere Grenze 0, obere Grenze wurzel(n))
int [e^(- x^2) * dx ] = J (!!!) =
wurzel(n) * int [e^(-n*x^2) * dx ] <
(untere Grenze 0, obere Grenze unendlich)
wurzel(n)*int [(1 / (1 + x ^ 2) * dx =
wurzel(n)* [1*3*5 *...* (2n-3)] / [2*4*6…*(2n-2)] * Pi/2 ,
(untere Grenze 0,obere Grenze unendlich)
Der erste Term L wird umgeformt zu
L = [2*4*6 *...* (2n)] / [1*3*5*7…*(2n-1)] * 1/wurzel (n) * 1/{2+1/n}
Der letzte Term R wird umgeformt zu R =
[1*3*5 *...* (2n-1)] / [2*4*6…*(2n)] wurzel(n)*wurzel(Pi)*1/{1-1/(2n)}* ½ wurzel(Pi)
Nach Wallis stimmen für n gegen unendlich die Grenzwerte von L und R überein.
lim L = lim R = ½ *wurzel(Pi),w.z.b.w.
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Nachtrag
Historische Bemerkungen
Mit dem unendlichen Produkt in (II) hat sich, wie die Bezeichnung aussagt,
bereits John Wallis ( 1616-1703) beschäftigt
Aber erst Leonhard Euler ( 1707 –1783) gelang eine Herleitung.
Man findet die Ausführungen Eulers zu diesem Thema im 11. Kapitel
des ersten Bandes seiner Introductio (Einführung in die Analysis des Unendlichen).
Dieses Kapitel trägt die Ueberschrift:
„Von andern unendlichen Ausdrücken für die Bogen und die Sinus.“
Es enthält dabei u.a. die Entwicklung der Zahl Pi in ein unendliches
Produkt.
Deine Frage nach der Gamma Funktion gehört tatsächlich ebenfalls
zum Ressort Leonhard Eulers, lautet doch der volle Name
dieser faszinierenden Funktion
EULERSCHE GAMMA - FUNKTION
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Januar, 2002 - 16:15: |
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Hi N,
In einem älteren Lehrbuch der Integralrechnung finde ich
einen Abschnitt, der den Titel trägt
„Theorie der EULERschen Integrale“
Er erstreckt sich über 21 Druckseiten und enthält die folgenden Kapitel,
die einen Eindruck über die Vielschichtigkeit des Themas vermitteln.
I.
Erklärung der Eulerschen Integrale erster und zweiter Gattung
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Das Eulersche Integral erster Gattung oder die Betafunktion
B(p.q) wird definiert durch das Integral:
B(p.q) = int[x^(p-1)*(1-.x)^(q-1) *dx],
untere Grenze 0.obere Grenze 1.
p und q > 0
Das Eulersche Integral zweiter Gattung oder die Gammafunktion
Gamma(p) wird definiert durch das Integral
Gamma(p) = int[e^(-x) *x^(p-1) * dx],
untere Grenze null, obere Grenze unendlich.
p > 0
Zusammenhang beider:
B(p,q) = [Gamma(p) * Gamma(q) ] / Gamma (p + q)
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Anmerkung::
C.F.Gauss bezeichnet die Funktion Gamma(1+x) mit PI (x).
II
Darstellung der Gammafunktion durch unendliche Produkte
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Beispiel
Gamma(p) = product.[ (1+1/n) ^(p-1) / {1+(p-1)/n} ]
Der Produktindex läuft von n = 1 bis unendlich
III
Eigenschaften der Gammafunktion
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Beispiele
Gamma(1+p) * Gamma(1-p) = (p * Pi) / sin (p * Pi)
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für p = ½ folgt daraus
Gamma( ½ ) = wurzel (Pi)
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N.B. : Dieses Resultat haben wir beim ersten Beweis benützt !
IV
Berechnung von ln{Gamma(p)}
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Beispiel mit ln{Gamma(t)}
int [ln{Gamma(t)}*dt] = ln [wurzel( 2 * Pi )]
untere Grenze des Integrals 0 ,obere Grenze 1.
V
Einige besondere Werte der Gammafunktion und ihre Anwendung
auf die Berechnung von bestimmten Integralen.
Beispiele
Gamma(3/2) = ½ * wurzel(Pi)
Gamma(5/2) = ¾ * wurzel(Pi)
Gamma(7/2) = 3 * 5 / 8 * wurzel(Pi)
........................................................
Gamma(1+ ¼ ) * Gamma(1- ¼ ) = Pi / (2*wurzel(2))
Gamma(1+ 1/3 ) * Gamma(1 – 1/3) ) = 2 Pi / (3*wurzel(3))
Beim folgenden Integral: untere Grenze 0 , obere Grenze ½ * Pi
int [1/ wurzel{sin(t)} * dt] = 1 / [2*wurzel(2*Pi)] * [Gamma (¼ )]^2
Beim folgenden Integral: untere Grenze 0 , obere Grenze 1
int [1/wurzel(1-x^4) * dx] = 1 / [4*wurzel(2*Pi)] * [Gamma (¼ )]^2
u.s.w.
Das eingehende Studium der Gammafunktion lohnt sich sehr und öffnet
viele Zugänge in der Analysis und Funktionentheorie.
Viel Vergnügen und Erfolg wünscht Dir
Hans Rudolf Moser |
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