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666 (Lethe)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Januar, 2002 - 13:59: | 
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Es sei V der Raum der Polynome vom Grad 3.
a) Man zeige: B:={b1,b2,b3,b4} mit b1(x):=x3-x2, b2(x):=-x3+x2-x, b3(x):=-x2+x-1, b4(x):=x+1 ist eine Basis für V.
b) Man ergänze {c1, c2} mit c1(x):=-x3+3x2-4x+2, c2(x):=-x3-x2+2x-3 zu einer Basis C von V und bestimme die Übergangsmatrix M(B,C).
c) Man stelle p(x):=x3+2x2-2x+1 bzgl. beider Basen dar und bestätige folgende Aussage: "Zwischen den Koordinaten eines Vektors xÎVn bzgl. eines Basis B=(b1,...,bn) und den Koordinaten von x bzgl. einer anderen Basis B´=(b1´,...,bn´) besteht der Zusammenhang: [(b1´)B,...,(bn´)B] * (x)B´ = (x)B."
Ich bilde mir ein zu wissen, was das alles (theoretisch) bedeutet, aber ich kann das absolut nicht auf Polynome anwenden. Weiss nicht, wie ich das anfangen soll... |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Januar, 2002 - 20:02: |
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Hallo 666,
Zu a)
V ist der Vektorraum aller Polynome von höchstens Grad 3. (Einschließlich dem Null-Polynom).
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Wir wissen, dass {1, x, x², x³} eine Basis von V ist.
Daher ist dim(V) = 4
Irgendwelche 4 Vektoren dieses Raumes, die linear unabhängig sind, bilden eine Basis.
Wir haben genau 4 Vektoren gegeben: b1, b2, b3, b4 und müssen also nur noch zeigen, dass sie unabhängig sind.
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Die Abhängigkeitsbedingung lautet:
r(x³-x²) + s(-x³+x²-x) + t(-x²+x-1) + u(x+1) = 0
ausmultipliziert und anders zusammengefasst ergibt:
(-t+u)*1 + (-s+t+u)*x + (-r+s-t)*x² + (r-s)*x³ = 0
Weil 1,x,x²,x³ unabhängig sind, kann diese relation nur bestehen, wenn:
-t + u = 0
-s + t + u = 0
-r + s - t = 0
r - s = 0
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Wir schreiben für dieses homogene Gleichungssystem, die Koeffizientenmatrix:
0 0 -1 1
0 -1 1 1
-1 1 -1 0
1 -1 0 0
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und reduzieren nach dem Gaußschen Algorithmus:
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
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also keine Lösung (außer der trivialen) (siehe letzte Zeile)
Unser Vektoren sind also linear unabhängig und weil es vier an der Zahl sind, so bilden sie eine Basis.
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Anmerkung: Man kann die Matrix auch direkt anschreiben:
beachte, dass ihre Spalten die Koeffizienten von 1,x,x²,x³ der Vektoren b1,b2,b3,b4 sind.
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