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Beitrag |
    
m. (Frosch007)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Januar, 2002 - 21:28: | 
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Hallö!
Wenn ich eine Spiegelung mit einer Drehung verkette kann nur eine Spiegelung oder eine Gleitspiegelung heraus kommen.
Die Frage ist nur wann kommt was heraus ?
Wer weiß es?
Vielen Dank |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Januar, 2002 - 14:22: |
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Hi m ,
Bezeichnungen
Spiegelungen werden wie folgt bezeichnet :
S(P): Spiegelung am Punkt P.
S(a): Spiegelung an der Geraden a
Zuerst eine allgemeine Standortbestimmung
Begriff der Schubspiegelung:
Eine Schubspiegelung ist das Produkt (Verkettung) aus einer
Geradenspiegelung und einer Translation, deren Vektor v parallel
zur Spiegelungsachse verläuft.
Die Schubspiegelung ist eo ipso eine ungleichsinnige Kongruenz,
d.h .der Umlaufsinn einer Figur wird bei dieser Abbildung umgekehrt.
Ist v der Nullvektor, so geht die Schubspiegelung in eine
Geradenspiegelung über.
Die Geradenspiegelungen sind somit spezielle Schubspiegelungen.
(Schubspiegelung als Oberbegriff).
In diesem Sinn ist der folgende allgemeine Satz über
ungleichsinnige Kongruenzen zu verstehen
Jede ungleichsinnige Kongruenz ist eine Schubspiegelung
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Nun zur Beantwortung Deiner Frage.
(Es wäre nützlich, meinen Ausführungen anhand einer fortlaufend
nachgeführten Skizze zu folgen).
Es handelt sich zweifellos bei der gegebenen Kongruenzabbildung A
einer Rotation R mit einer anschliessenden Geradenspiegelung S(r)
um eine ungleichsinnige Kongruenz;
Deine Frage lautet m.a.W : wann gilt v = 0 ?
Ein ganz einfaches Kriterium zur Entscheidung der Frage, ob eine
Schubspiegelung mit v ungleich null vorliegt, lautet:
Besitzt die fragliche Abbildung mindestens einem Fixpunkt, so ist sie
eine reine Geradenspiegelung.
Die Entscheidung darüber, welcher Fall vorliegt, lässt sich am besten
konstruktiv so fällen:
Du kannst jede Rotation durch ein Produkt zweier Geradenspiegelungen
S(p),S(q) ersetzen und zwar auf unendlich viele Arten.
Die Geraden u und v schneiden sich im Drehzentrum, ihr Winkel stimmt
mit dem halben Drehwinkel überein.
Dieser Sacherhalt dürfte bekannt sein !
Wähle das Geradenpaar p,q ,welche die gegebene Drehung bewirkt,
beliebig,aber günstig, aus.
Die dritte Gerade, an welcher zusätzlich gespiegelt wird, sei r
Die Abbildung A ist dann ein Abbildungsprodukt mit drei Faktoren:
A = S(p)° S(q)° S(r)
Grundsätzlich gibt es zwei Fälle
A]
p, q ,r sind parallel.
Man erkennt sofort, dass die gegebene Abbildung A auf eine reine
Geradenspiegelung zurückgeführt werden kann.
B]
p und r sind nicht je zu q parallel
q und r mögen sich in R schneiden
Das Abbildungsprodukt S(q) ° S (r) stellt dann eine Drehung dar,
die wir auch mit Hilfe zweier anderer Geraden s und h beschreiben
können,die sich im Punkt R schneiden und denselben Winkel wie q und r
bilden.
Wir treffen unsere Wahl so, dass s auf p senkrecht steht.
Somit gilt S(q) ° S (r) = S(s) ° S (h) ;
für die gegebene Abbildung A gilt dann:
A = S(p)° S(q)° S(r) = S(p) ° S(s) ° S (h)
Da p und s aufeinander senkrecht stehen, kann das Spiegelungsprodukt
S(p) ° S(s) durch die Punktspiegelung S(Z) am Schnittpunkt Z von p und s
ersetzt werden. Wir haben demnach:
A = S(p)° S(q)° S(r) = S(Z)° S(h) , und wir haben es schon weit gebracht !
Nun kommt der Clou:
Die Punktspiegelung S(Z) ersetzen wir durch zwei Geradnspiegelungen
S(m) und S(n) , wobei m und n ebenfalls aufeinander senkrecht stehen;
Es sei m insbesondere parallel zu h,dann ist n senkrecht zu h.
Für A haben wir die Schlussform
A = S(Z)° S(h) = S(m)° S(n)° S(h)
Die Konfiguration der Geraden m, n, h gibt Auskunft darüber, welcher
Fall vorliegt
Man erkennt aus der Konfiguration ohne Mühe den Verschiebungsvektor v.
Viel Erfolg bei der Konstruktion an einem Beispiel.
Es geht eleganter, als man glauben könnte.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
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