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Beitrag |
    
Mh (Manfred)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Januar, 2002 - 15:56: | 
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Hallo.
Die Einhüllende zu einer implizit durch f(x, y, a) = 0 gegebenen Kurvenschar erhalte ich doch, indem ich a aus dieser Gleichung und ¶f/¶a = 0 eliminiere.
Wie kann ich mir das plausibel machen?
Wenn ich die Differentialgleichung für die Kurvenschar aufstellen will, setze ich im totalen Differential df = ¶f/¶x·dx + ¶f/¶y·dy + ¶f/¶a·da einfach da = 0, weil sich der Parameter längs einer Kurve nicht ändert. Das kann ich nachvollziehen. Gibt's für das andere auch so eine Idee?
Danke!
Manfred |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Januar, 2002 - 20:27: |
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Hi mh,
In diesem Board wird das Thema Enveloppe oder Umhüllende von
einparametrigen Kurvenscharen oder von zweiparametrigen
Flächenscharen etwas stiefmütterlich behandelt.
Man wird es mir daher nicht verübeln, wenn ich dazu ein wenig
ausführlicher berichte und ein paar instruktive Beispiele anfüge.
Wenn alle Kurven einer Schar eine bestimmte Kurve H berühren,
so heisst H die Hüllkurve oder Enveloppe.
Es sei vorausgesetzt, dass die gegebene Schar
f(x,y,a) = 0 ………………………………………………………………(1)
eine solche Hüllkurve besitzt und dass die Koordinaten x , y
eines Punktes P von H sich als stetig differenzierbare Funktionen
des Parameters a darstellen lassen.
Es sei P(x /y) auf H, und es gelte
x = x(a) , y = y(a)………………………………………………………..(2)
H werde von derjenigen Scharkurve berührt, die zum selben
Parameterwert a gehört.
Setzt man nun die Beziehungen (2) in (1) ein, so ist die Gleichung (1)
erfüllt; wir differenzieren sie nach dem Parameter a; es entsteht:
fx * dx /da + fy * dy /da + fa = 0 .....................................................…..(3)
Dabei bedeuten die Symbole fx ,fy, fa die partiellen Ableitungen
Von f(x,y,a) nach x, nach y ,nach a.
Wegen der Berührung der Scharkurve und der Kurve H im
Punkt P(x/y) gilt
dy / dx = dy /da * da / dx = - fx : fy .........................................................(4)
daher verschwinden die ersten beiden Summanden in der Gleichung (3),
und es verbleibt
fa = 0.........................................................................................................(5)
in Worten:
die partielle Ableitung der Gleichung der Kurvenschar nach dem
Parameter muss notwendig null sein.
Dies genügt in aller Regel nicht.
Die Kurve f(x,y,a) hat im genannten Punkt nur dann eine Tangente,
wenn zusätzlich die folgende Bedingung erfüllt ist:
(fx)^2 + (fy)^2 ist ungleich null ist ...........................................................(6)
Somit gilt das Rezept
Man erhält die Gleichung der Enveloppe einer Schar f(x,y.a)) = 0,
indem man den Parameter a aus den Gleichungen
f(x,y,a) = 0 und
fa = 0 (partielle Ableitung von f nach dem Parameter a gleich null).
eliminiert
Im Anhang führe ich ein Beispiel vor, welches mit zwei verschiedenen
Methoden gelöst wird, zum einen mit der soeben besprochenen Methode
und zum andern mit einer eher ungebräuchlichen Methode, welche
von Leibniz stammt.
Diese zweite Methode beruht auf der folgenden Ueberlegung:
Man betrachtet zwei benachbarte Kurven
f(x,y, a) = 0 und f(x,y,a+h) = 0 und ermittelt ihren Schnittpunkt, für den
f(x,y, a) - f(x,y,a+h) = 0 gilt oder nach Division mit h :
[ f(x,y, a) - f(x,y,a+h) ] / h = 0
Der letzte Ausdruck strebt mit h gegen null gegen die Grenzbeziehung
der partiellen Ableitung von f nach a; mithin gilt
fa = 0 wie oben !
Im Anhang ermitteln wir auf die genannten zwei Arten die Enveloppe
der Geradenschar:
x* cosh a + y * sinh a = 1 , a ist wie oben Scharparameter
A]
Mit Hilfe der Ableitung.
Differentiation nach a gibt:
x * sinh a + y * cosh a = 0 , also tanh a = - y / x.
Nun ist cosh a = 1 / wurzel [1 – ( tanh a) ^ 2] = x / wurzel( x ^ 2 – y ^ 2 )
sinh a = tanh a * cosh a = - y / x * x /wurzel( x ^ 2 – y ^ 2 )
- y / wurzel(x ^ 2 – y ^ 2),somit
x * x /wurzel(x ^ 2 – y ^ 2) + y * (-y)/wurzel(x ^ 2 – y ^ 2) = 1 oder
x ^ 2 - y ^ 2 = wurzel(x ^ 2 – y ^ 2) , daraus :
wurzel(x ^ 2 – y ^ 2) = 1, mithin
x ^ 2 – y ^ 2 = 1 , eine gleichseitige Hyperbel als Enveloppe
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B]
Schnitt zweier eng benachbarter Scharkurven ga und g(a+h):
Die beiden Geradengleichungen sind:
ga: x cosh a + y sinh a = 1
g(a+h) x cosh (a+h) + y sinh(a+h) =1
Es liegt ein lineares Gleichungssystem für die Unbekannten x und y vor,
die Koordinaten des Schnittpunktes S der Geraden.
Wir lösen das System mit der Cramerschen Regel auf.
Bei der Berechnung der Hauptdeterminante D im Nenner und den
Zählerdeterminanten D1, D2 verwenden wir die Subtraktionstheoreme
für die hyperbolischen Funktionen. Wir setzen ihre Kenntnis voraus (sic!).
Diese Determinanten lauten in vereinfachter Form:
D = sinh h
Dx = 2 * cosh (a+h/2) * sinh (h/2)
Dy = 2 * sinh ( a+h/2) * cosh (h/2)
Daraus ergeben sich die Lösungen:
x = Dx / D = 2 * cosh (a+h/2) * sinh (h/2) / sinh h
y = Dy / D = 2 * sinh (a+h/2) * cosh (h/2) / sinh h
Jetzt kann der Grenzübergang erfolgen im Sinne von h strebt gegen null
Dabei strebt
x gegen cosh a und y gegen sinh a
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Mit der bekannten Beziehung
(cosh a) ^ 2 - (sinh a) ^ 2 = 1 kommt dann
x ^ 2 – y ^ 2 = 1 wie unter A]
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Bravo !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Januar, 2002 - 21:43: |
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Hi mh,
Analoges können wir im dreidimensionalen Raum bewerkstelligen
Gegeben sei die einparametrige Ebenenschar
x / a + a y + ½ z = 1 , Scharparameter
Gesucht wird die Hüllfläche
1.Methode : Schnitt benachbarter Ebenen : J
E1 : x / a + a y + ½ z = 1………………………………………………. (1)
E2: x /( a + h ) + ( a + h ) y + ½ z = 1………………………………...(2)
Subtraktion der einen von der andern Gleichung führt auf
x / (a + h ) – x / a + 2 y = 0, daraus
x = a y ( a + h ), für h strebt gegen null kommt
x = a ^2 * y , oder a ^ 2 = x / y.
Dies setzen wir in die Gleichung (1) ein
x * wurzel(y) / wurzel(x) + y * wurzel(x) / wurzel(y) + ½ z = 1 oder
2 * wurzel( x y ) + ½ * z = 1 ,daraus entsteht schliesslich
16 x y = 4 – 4 z + z ^ 2
oder
(z – 2) ^ 2 = 16 x y , setzen wir noch z-2 = Z , so kommt
Z ^ 2 = 16 x y
Das ist die Gleichung eines Kegels
mit der Spitze (0/0/2) und der Achsenrichtung
Vektor{1;1;0}
2.Methode Mit Differentialrechnung (partielle Ableitung nach a)
F(x,y,z,a) = x / a + a y + ½ z - 1 = 0
F partiell nach a = - x / a ^ 2 + y = 0 ;
aus der zweiten Gleichung folgt wiederum x = a^2 * y wie oben
Die beiden Lösungszweige vereinigen sich hier, also
u.s.w.
MfG
H.R.Moser,megamath |
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