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Armin
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Januar, 2002 - 13:37: | 
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Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe
Bestimme die Bogenlänge follgender Kurven
x=(1/3)(y-3)(wurzel y) , (1/2)<=y<=1
Wie rechnet man das aus? |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Januar, 2002 - 08:20: |
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Hi Armin,
Wir vertauschen x und y in ihrer Rolle, ohne das Resultat zu beinträchtigen.
Es entsteht y = 1/3 (x-3) * wurzel (x), ½ < x < 1.
Die neue Gleichung des Kurvenbogens passt besser ins Konzept.
Wir berechnen das Bogenelement ds = wurzel [1 + (y’) ^2 ]
aus y ’ = 1/3* {wurzel(x)+ (x-3) * 1 / (2*wurzel(x)) } = ½ *(x-1) / wurzel(x)
(y’) ^ 2 = ¼ * (x - 1) ^ 2 / x ,also
(ds)^2 =[1 + (y’) ^2 ] = ¼ * [ 4x + x^2 – 2 x + 1] / x = ¼ * [ x ^ 2 + 2 x + 1 ] / x
= ¼ * ( x+1)^2 / x , somit
ds = ½ * (x +1) /wurzel(x) = ½ * [wurzel(x) + 1/wurzel(x)]
Eine Stammfunktion dazu lautet:
½ * [ 2/3*x*wurzel(x) + 2*wurzel(x)]
Das zugehörige bestimmte Integral mit unterer Grenze ½ und oberer Grenze 1 gibt
die gesuchte Bogenlänge L:
L = ½ * [ 8/3 –7 /(3*wurzel(2))] = 4/3 – 7/12 * wurzel(2) = 0,5083754219...
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Als Vergleich berechnen wir noch die Länge S der zugehörigen Sehne PQ
Mit xP = ½ , yP = -5/6*wurzel(1/2), xQ = 1 , yQ = - 2/3 kommt
S = wurzel[(xP – xQ)^2 + (yP-yQ)^2 ] = 0,5059569798…< L
MfG
H.R.Moser,megamath. |
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