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Turi M.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Januar, 2002 - 09:29: | 
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Hallo,
Ich bitte um Nachhilfe bei der folgenden Aufgabe:
Die Ellipse b^2* x^2 + a^2* y^2 = a^2 * b^2 mit a > b
wird an der Geraden y = x gespiegelt.
a)
Man berechne den Tangens des Schnittwinkels von
Bild- und Originalkurve.
b)
Für welches Achsenverhältnis a / b ist dieser Winkel 45 ° ?
Besten Dank im Voraus
Turi M. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Januar, 2002 - 13:13: |
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Hi Turi M.,
a)
Um die Gleichung der gespiegelten Ellipse E* zu bekommen, vertauschen wir in der Gleichung der gegebenen Ellipse E x mit y und umgekehrt.
Wir ermitteln den Schnittpunkt S der beiden Ellipsen, der im 1.Quadrant liegt.
S ergibt sich am einfachsten als Schnittpunkt von E mit der
Spiegelungsachse y = x ; somit ist die folgende Gleichung nach x aufzulösen:
a^2 * x^2 + b^2 * x ^2 = a^2 * b^2, daraus
xS = yS = a * b / R , mit R = wurzel(a^2 + b^2)
Nun berechnen wir die Steigung m1 der Ellipse E im Punkt S.
Die Gleichung von E wird implizit nach x abgeleitet ; es entsteht:
2 b^2 * x + 2 a^2 * y * y ` = 0 , daraus y ` = - (b^2 * x ) / (a^2 * y)
Setzen wir die Koordinaten von S ein, so kommt, da x = xS = y = yS gilt:
m1 = - b^2 / a^2 .
Zuerst berechnen wir den Winkel phi zwischen E und der Spiegelungsachse y = x.
deren Steigung m2 = 1 lautet,
Der gesuchte Winkel Phi der beiden Ellipsen ergibt sich dann durch Verdoppelung
des Winkels phi :
Phi = 2 * phi
Zur Ermittlung von phi benützen wir die bekannte Formel
tan(phi) = (m2 - m1) / ( 1 + m1*m2) = (a^2 + b^2) / (a^2 – b^2) , also
tan(phi) = R^2 / e^2, wobei e = wurzel(a^2 - b^2) die lineare Exzentrizität der
Ellipse darstellt.
Nun berechnen wir mit der Doppelwinkelformel des Tangens den gesuchten
Tangenswert:
tan(Phi) = tan(2*phi) = 2* tan (phi) / ( 1 – tan(phi)^2 ) = 2* R^2 * e^2 / (e^4-R^4)
Vereinfachung:
tan(Phi) = 2* R^2*e^2 / [(e^2 + R^2) (e^2 - R^2)] = 2* R^2 * e^2 / [2*a^2*2 b^2],
schliesslich:
tan(Phi) = ½ * R^2 * e^2 / [a^2 * b^2]
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b)
Beachte: R^2 = a^2 + b^2 , e^2 = a^2 – b^2
Für Phi = 45° erhält man die Gleichung
R^2 * e^2 / [a^2 * b^2] = 2 ,also
(a^2 + b^2) * (a^2 – b^2 ) / [a^2 * b^2] = 2
setz man v = a / b , so entsteht die biquadratische Gleichung in v :
( v ^ 2 –1 / v ^ 2 ) = 2 oder
v ^ 4 – 2* v ^ 2 - 1 = 0 daraus als einzige taugliche Lösung
v = wurzel [1 + wurzel(2)]
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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