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Beitrag |
    
Christoph (Gregor_2)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Januar, 2002 - 15:24: | 
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Suche die Stammfunktion zu
y´(x) = [1/(x³+x)]
Danke! |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Januar, 2002 - 16:18: |
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Hallo Christoph (oder Gregor 2),
Du mußt hier mit der sog. Partialbruchzerlegung arbeiten. Ich zeige dir das hier an deinem Beispiel exemplarisch, zur allgemeinen Verfahrensweise schlag in einem guten Analysis-Buch nach oder frag mich hier im Forum nochmal.
Los geht´s
Wir schreiben x³ + x = x(x² + 1). Nun behaupten wir, y' auch so schreiben zu können:
1/[x(x² + 1)] = A/x + (Bx + C)/(x² + 1)
Nach Multiplikation des Nenners der LINKEN Seite unserer Gleichung erhalten wir:
1 = A(x² + 1) + (Bx + C)x
Sicherlich erkennst du schon, worauf ich hinaus will: Die Brüche auf der rechten Seite sind allesamt einfacher zu integrieren. Wir müssen nur noch an die Koeffizienten A,B und C kommen. Das machen wir folgendermaßen:
Wir setzen x = 0 (beliebig gewählt)
1 = A
und nun x = 1:
1 = 2 + B + C
also -1 = B + C (I)
noch einmal: x = -1
1 = 2 - C + B
- 1 = - C + B
Addieren wir I zu II ergibt sich
- 2 = 2 B, also B = -1 und daraus C = 0
Also finden wir nun für die Gesamtdarstellung:
y ' = 1/(x) - x/(x² + 1)
Mit dem Satz der Integration von Summen finden wir unser gesuchtes Integral sehr einfach: Wir brauchen nur noch 1/x und -x/(x² + 1) integrieren:
Integral 1/x dx = ln(x) und
Integral x/(x² + 1) dx = 0,5 ln(x² + 1)
Beachte das beim letzten Teilintegral im Zähler bis auf den Faktor 2 die Ableitung des Nenners steht. Durch Multiplizieren von 0,5 können wir mit diesem Trick den Ausdruck "kosmetisch" zum logarithmischen Integrieren bereitmachen.
Und nun endlich das Integral:
y = ln(x) - 0,5 ln(x² + 1) oder mit Hilfe der Logarithmenregeln etwas vornehmer:
y = ln [ x / Wurzel (x² + 1) ]
Ich hoffe, ich konnte Dir weiterhelfen. Falls Du Fragen hast, dann zögere nicht, sie hier zu stellen.
Viele Grüße
 Oliver |
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