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Urs
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Januar, 2002 - 09:15: | 
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Hallo,
Von der Kurve mit der Bezeichnung Klothoide interessiert mich
eine Herleitung der Polargleichung .
Kann mir jemand behilflich sein ?
Mit bestem Dank im voraus.
Urs |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Januar, 2002 - 13:17: |
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Hi Urs,
Die Klothoide (Spinnlinie, nomen est omen) hat die Eigenschaft, dass
ihre Krümmung k (kappa) proportional der Bogenlänge s zunimmt.
Dabei wird s von einem festen Punkt O auf der Kurve aus gemessen,
den wir als Nullpunkt eines cartesischen Koordinatensystems und
gleichzeitig als Pol des Polarkoordinatensystems etablieren.
Da k reziprok zum Krümmungsradius rho ist, gilt also mit p = 1/(a^2)
als Proportionalitätskonstante:
k = 1 / rho = p* s =1 / (a^2) * s……………………………………………..(1)
Anfangsbedingung: für s = 0 (in O) gelte k = 0
Die Tangente in O sei die x-Achse und werde wie üblich als Polarachse
verwendet.
Für die Krümmung k gilt bekanntlich
k = 1 / rho = d(phi) / ds ,also
d(phi) = ds / rho
somit nach(1):
d(phi)) = s / (a^2) * ds
durch Integration (Integrationskonstante null)
phi = 1 / (2*a^2) * s ^ 2……………………………………………………..(2)
Daraus
s = (plus,minus) a / wurzel(2*phi)..................................................................(3)
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Dies ist schon die gesuchte Polargleichung !
Anhang
Wenn wir nun noch die Gleichung in rechtwinkligen Koordinate x , y
aufstellen möchten, stellt sich eine Ueberraschung ein !
Es gelingt nicht, eine solche mittels elementarer Funktionen zu
besorgen.
Unsere Bemühungen führen auf Fresnel-Integrale.
Ausführung
dx = ds * cos(phi) = rho * d(phi) * cos(phi) ,
dy = ds * sin(phi) = rho * d(phi) * sin(phi) ,
Für die Differentiale dx, dy erhalten wir somit:
dx = (plus,minus) a / wurzel(2*phi) * cos (phi) d(phi)
dy = (plus,minus) a / wurzel(2*phi) * sin (phi) d(phi)
Formale Integration :
x = a / wurzel(2)* int [cos(z) / wurzel (z) * dz ]
y = a / wurzel(2)* int [sin(z) / wurzel (z) * dz ]
Grenzen bei beiden Integralen: unten null, oben phi
Beide Integrale sind ausgewachsene Fresnel-Integrale,
wie sie in anderem Zusammenhang kürzlich in diesem Board
aufgetreten sind.
Dies nennt man Duplizität der Fälle !
Reizvoll ist die Berechnung der „Endstationen“, die sich im Grenzfall
phi strebt gegen unendlich ergeben
Wir benützen dazu die bekannten Werte der Fresnel:Integrale
(untere Grenze null, obere Grenze infinity)
int [cos(z) / wurzel (z) * dz ] = wurzel( ½ * Pi), ebenso
int [sin(z) / wurzel (z) * dz ] = wurzel( ½ * Pi)
Die zugehörigen Punkte Po1 und Po 2 haben die Koordinaten
xo1 = yo1 = ½ * a * wurzel(Pi)
xo2 = yo2 = - ½ * a * wurzel(Pi)
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Urs
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Januar, 2002 - 09:21: |
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An H.R.Moser,megamath
Vielen Dank für Deine wertvolle Hilfe !
Urs |
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