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Differenzierbar?

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Flojoe
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Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Januar, 2002 - 15:44:   Beitrag drucken

Zeigen Sie, daß die Funktion f: ]0,unendlich[ -> R, x^/(1/x) differenzierbar ist und berechnen Sie deren Ableitung.

Ich weiß, daß die Funktion genau dann differenzierbar ist, wenn der Limes von
f(x)-f(x0)
---------- existiert. Nur schaff ich's absolut
x-x0

nicht, den limes für diese Funktion zu berechnen.
Könnte mir hier vielleicht jemand helfen? Bitte!
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OliverKnieps (Oliverk)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Januar, 2002 - 21:37:   Beitrag drucken

Hallo Flojoe,

wenn du dich mit der Kettenregel auskennst, ist die Lösung deines Problems nicht schwer:

Es ist

y = x1/x Wenden wir auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus, also zur Basis e, an, so erhalten wir:

ln y = ln (x1/x) Delogarithmieren liefert
y = eln (x1/x) also schließlich
y = eln(x)/x (I)

Diesen Ausdruck kannst du wie gewohnt mithilfe der Kettenregel differenzieren. Solltest du unbedingt wert auf den Differentialquotienten

lim f(x+h)-f(x) / h
h->0

legen, dann setze in (I) ln(x)/x = u, wobei u eine Funktion von x ist. In dem entstandenen Ausdruck mußt du etwas herumtricksen, um den Differentialquotienten ablesen zu können, wenn dich das interessieren sollte, sag mir bitte hier nochmal Bescheid!

Viele Grüße

Oliver
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Flojoe
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Veröffentlicht am Montag, den 14. Januar, 2002 - 14:02:   Beitrag drucken

Hallo Oliver !

Vielen Dank erstmal für deine Antwort!

Es würde mir sehr helfen, wenn du mir beim Differentialquotienten noch helfen könntest, da ja dieser existieren muß, damit die Funktion differenzierbar ist.

Vielen Dank
Flojoe.

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