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Beitrag |
    
Margot (Mecki)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Januar, 2002 - 11:05: | 
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HI
Ich habe Probleme bei der folgenden Aufgabe:
Zeigen Sie: Es gibt keine stetige Funktion f : [0 , 1] -> [0 , 1], die jeden Wert aus [0 , 1] genau zweimal annimmt. Gibt es eine stetige Funktion f (wie oben def.), die jeden Werte aus [0 , 1] genau dreimal annimmt?
Meine Überlegung:
Das es kein stetiges f gibt, das jeden Wert genau 2 x annimmt geht ja nicht, da es dann Probleme im Maximum, bzw. Minimum gibt, da dies ja nur einmal vorkommt, käme es 2x vor, so kämen die anderen Werte dreimal vor, oder f wäre nicht mehr stetig. Doch wie beweise und formuliere ich das?? Und was ist mit der 2. Frage, geht das dann auch nicht?? |
Quaternion (Quaternion)
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Januar, 2002 - 21:05: |
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Hallo Margot
Nehmen wir an, es gebe eine solche Funktion f und sei f(0)<>1. Dann existieren x1 und x2 aus R, so dass f(x1)=f(x2)=1 ist, aber x1<>x2. Sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit x1<x2. Dann ist die Funktion zwischen x1 und x2 beschränkt. Es gibt also ein C im Intervall mit 1>=f(x)>=f(C) für x1<x<x2. Nach dem Zwischenwertsatz von Bolzano nimmt f jeden Wert zwischen x1 und C genau an. Sei h solch ein Wert. Nach dem Zwischenwertsatz von Bolzano nimmt f auch jeden Wert zwischen C und x2 an (und folglich auch h). Durch dreimalige Anwendung des Zwischenwertsatzes ergibt sich nun, dass h auch zwischen 0 und x1 einmal angenommen wurde. Insgesamt ergibt sich dann ein Widerspruch. Also gibt es kein f mit f(0)<>1 welches stetig ist und die Vorraussetzung erfüllt. Da der Beweis für f(0)<>0 identisch verläuft, gibt es keine stetige Funktion f:[0,1]->[0,1] |
Quaternion (Quaternion)
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Januar, 2002 - 21:15: |
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Was ich vergessen habe. Der Wert h wird zwischen 0 und x1 natürlich nur angenommen, wenn f(0)<h. Aufgrund der Stetigkeit gibt es aber ein \epsilon mit 1-f(x)<\epsilon ,wenn nur |x1-x| klein genug ist. Ist nun a:=1-f(0), so wähle \epsilon<a und dann erfüllt h:=1-\epsilon das Verlangte. |
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