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Beitrag |
    
Chris
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Januar, 2002 - 18:47: | 
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Abend
Habe hier ein hierbei ein Problem
A)Man ermittle die Eigenwerte und Eigenvektoren von
0 0 0
1 0 0=A
0 0 0
0 0 0
0 1 0=B
0 0 1
Um die Darstllung welcher Lineartransformation handelt es sich?(Zugrundegelegt sei die Standardbasis des R³)
B)Was ganau versteht man unter eigenwerten und Eigenvektoren einer Matrix A ?
Warum liefert das das lösen der Gleichung
det(A-lamda I) =0 genau die Eigenwerte?
Dieses Bsp. ist bei uns bei einer Prüfung mal gekommen könnt ihr mir dabei helfen?
Chris |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Januar, 2002 - 01:27: |
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Hi Chris,
ein Eigenvektor ist ein Vektor, der durch eine vorgegebene lineare Abbildung auf ein vielfaches von sich selbst abgebildet wird.
Als Formel : f(v)=lv
Das dabei auftretende Vielfache ist der zugehörige Eigenwert.
Wie ermittelt man nun solche Werte ?
Ganz einfach : wir formen erstmal stupide nach v um.Wenn A die darstellende Matrix ist gilt f(v)=Av und somit ist die Ausgangsgleichung äquivalent zu
Av-lv=0
Av-lIv=0
(A-lI)v=0
Der Nullvektor ist per Definition kein Eigenvektor, da sonst jeder beliebige Wert l Eigenwert wäre. Also muß das Gleichungssystem (A-lI)v=0 eine Lösung ungleich dem Nullvektor besitzen. Das wiederum ist nur der Fall, wenn die zugehörige Koeffizientenmatrix (A-lI) singulär(also nicht invertierbar) ist und somit gilt det(A-lI)=0
In Teil (A) sind die Matrizen schon so schön angeordnet, daß man nur einmal hinschauen muß, um die Eigenwerte zu ermitteln.
A hat nur den Eigenwerte 0, B die Eigenwerte 0 und 1 (Hier an der Diagonale abzulesen, Stichwort : Jordan-Form).
A(x,y,z)=(0,x,0)
B(x,y,z)=(0,y,z)->senkrechte Projektion auf y-z-Ebene |
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