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Beitrag |
    
Konrad
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Januar, 2002 - 10:06: | 
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Hallo,
Trotz meinen Bemühungen ist es mir nicht gelungen, das
untenstehende Integral zu berechnen.
Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar !
Der Integrand lautet
1 /(1+ x^p) * 1/(1+x^2).
Die untere Grenze ist 0, die obere Grenze ist unendlich.
p ist eine gegebene Konstante.
MfG
Konrad |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Januar, 2002 - 13:08: |
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Hi Konrad.,
Das vorgelegte Integral , dessen Wert mit J bezeichnet sei,
hat einen gewissen Bekanntheitsgrad.
Charakteristisches Merkmal: J ist nicht von p abhängig !
Fangen wir von vorne an ; wir erweitern den ersten Bruch mit
x ^ (-p) , den zweiten mit x ^ (-1) ; es entsteht:
J = int [ {x^(-p) / ( x^(-p) + 1 )} * {x ^ (-1) / ( x^(-1) + x )} * dx ]
Es ist nun naheliegend, die Substitution 1/x = u , dx = - 1/u^2 * du
vorzunehmen.
Bei dieser Substitution werden die Grenzen vertauscht; wenn wir das
Minuszeichen unterdrücken, bleibt bezüglich der Grenzen alles
beim alten. Damit kommt:
J = int [ {u ^ p / ( u ^ p + 1 )}* {1 / (u ^ 2 + 1 ) }* du ] =
int [{u ^ p + 1 – 1 ) / ( u ^ p + 1 )} * { 1 / ( u ^ 2 + 1 ) }* du] =
Auf der rechten Seite erscheint das Integral J nochmals und zwar
mit einem negativen Vorzeichen .
Wir erhalten eine Gleichung zur Ermittlung von J:
(Grenzen nach wie vor null und unendlich)
J = int [{(u^p +1 ) / ( u^p +1 )} * {1/(1+u^2)}*du] - J, somit
J = ½ * int [ 1 / (1+x^2* dx ] = ½ * ½ * Pi = ¼ * Pi,
Wer hätte das erwartet !
Empfohlen wird eine Kontrolle mit dem Maple - System.
für verschiedene Werte von p.
Anmerkung
Für p= 2002 dürfte der eine oder andere Rechner überfordert sein !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Konrad
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Januar, 2002 - 07:57: |
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Hallo H.R.Moser,megamath
Vielen Dank für die interessante Lösung des
Parameterintegrals.
Es ist wirklich verblüffend, dass p im Resultat keine
Rolle mehr spielt.
MfG
Konrad |
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