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Beitrag |
    
Christoph (Gregor_2)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Januar, 2002 - 22:02: | 
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Berechne die Stammfunktion von:
f(x) = xhoch(3/2) * sin(x)
Funktioniert das mit Substitution?
Bitte Lösungsweg angeben! |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Januar, 2002 - 12:07: |
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Hi Christoph,
Das von Dir vorgelegte Integral führt nach zweimaliger partieller Integration
auf ein Fresnel-Integral, bennnat nach dem französischen Ingenieur und Physiker
Augustin Jean Fresnel (1788-1827).
Es gib tverschiedene ,eng verwandte Formen ; wir benützen S2, deren Def. lautet :
S2(x) = 1 / wurzel(2*Pi) * int [ sin t / wurzel(t) * dt ]
untere Grenze 0, obere Grenze x.
Nun zu Deinem Integral J = J(x), bei dem wir zweimal hintereinander partiell
integrieren, um auf S2(x) zu stossen.
Das geht so ( no comment ! ):
J = - x ^ (3/2) * cos x + 3/2 * int [x^(1/2) * cos x * dx ] =
x = - x ^ (3/2) * cos x + 3/2 * { x^( ½ ) * sin x - ½ int [ sin x / wurzel(x) * dx ] }
J = - x ^ (3/2) * cos x +3/2 * wurzel(x) * sin x - ¾ * wurzel(2*Pi) * S2(x)
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Januar, 2002 - 12:37: |
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Hi Christoph,
Eine kleine Ergänzung
Diesmal geht es um ein bestimmtes Integral
Gesucht wir der numerische Wert des
uneigentlichen Integrals
F= int [sin(x^2)* dx],untere Grenze 0 ,obere Grenze unendlich.
Obwohl der Integrand ständig zwischen –1 und +1 oszilliert *),
existiert (man sagt auch konvergiert) das Integral, wie wir nach einer
einfachen Substitution etwas besser erkennen
.
F kann nämlich geschrieben werden als
F = ½ * int [sin t / wurzel (t) * dt ], Grenzen wie oben.
Nach der Theorie und Praxis der Fresnelintegrale kommt
F = ½ * wurzel( ½ * Pi)
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*) A.J.Fresnel war neben Huygens (1629-1695) der Schöpfer
der Undulationstheorie des Lichts.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Mh (Manfred)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Januar, 2002 - 11:45: |
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Hallo.
Ich hätte auch noch eine Frage zu diesem Integral: Wenn man es (wie beschrieben mit partieller Integration) umschreibt und auf das Fresnel-Integral (das ich nicht weiter kenne) zurückführt, was hat man dann effektiv gewonnen? Liegt das irgendwie tabelliert vor, oder kann man es besonders einfach numerisch berechnen?
Mich hätte das im Zusammenhang mit der Fourierreihen-Entwicklung interessiert, die ich bei f(x)=xn nur für natürliche n geschlossen berechnen kann.
Mh |
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