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Beitrag |
    
Andi
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Januar, 2002 - 17:03: | 
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Hallo,
Kann mir jemand genau sagen wie ich auf das Resultat dieser Aufgabe komme?
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Grundmenge G:= [0;2pi[
2(1-cos(2x)) = 3sin(2x)
Die Lösung sind folgende Mengen:
{0;pi;arctan(3/2);arctan(3/2)+pi}
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Ich kann die Gleichung bis ... lösen:
2(1-cos(2x)) = 3sin(2x)
2(1-cos(x)^2+sin(x)^2) = 3(2sin(x)cos(x))
4sin(x)^2 = 6sin(x)cos(x)
2sin(x)^2 = 3sin(x)cos(x)
...?
Wie geht es nun weiter, damit ich die oben genannte Lösung erhalte?
Vielen Dank für Tipps.
Andi |
Beach
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Januar, 2002 - 01:12: |
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Hallo Andi, substituiere z=sin(x), z²=sin²(x), also cos²(x)=1-z²
2sin(x)^2 = 3sin(x)cos(x)
2z² = 3z*Ö(1-z²)
z=0 V 2z = 3Ö(1-z²)|(..)²
z=0 V 4z² = 9-9z²|+9z²
z=0 V 13z² = 9
z=0 V z=3/Ö13
rücksubst.:
sin(x)=0 V sin(x) = 3/Ö13
aus der ersten Gleichung folgt x=0 oder x=p
bleibt, die zweite so umzuformen, dass die Lösung die vorgegebene Form annimmt, indem ein tangens vorkommt: dazu denke an tan(x)=sin(x)/cos(x)
es galt cos(x)=Ö(1-sin²(x)), und sin²(x)=9/13, also
cos(x)=Ö(1-9/13)=2/Ö13
also tan(x) = sin(x)/cos(x) = 3/2 => x = arctan(3/2)
und mit der p-Periodizität des tangens folgt sofort eine zweite Lösung mit x = arctan(3/2)+p |
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