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Beitrag |
    
Miriam (Mmemim)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Januar, 2002 - 15:14: | 
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Hi Leute!
Die Uni hat wieder begonnen und es geht gleich schon wieder los mit den Matheproblemen:o)
Also hier die Aufgabe:
Sei fk := 2^2^k +1 (d.h. 2 hoch 2 hoch k)die k-te Fermatzahl,k=0,1,2,...Beweisen Sie für alle n e N:
fn=2 + Produkzeichen fk (n-1 über dem Produktzeichen, k=0 unter dem Produkzeichen)Also kein SUMMENZEICHEN,sondern das Produktzeichen!!!!!!!!!
Ich hoffe, ihr kommt klar aus meiner Aufgabenstellung! Wäre toll!
Gruß Miriam |
Orion (Orion)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Januar, 2002 - 17:44: |
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Miriam :
Hier ist Hilfe zur Selbsthilfe:
Der Beweis gelingt leicht durch Induktion.
Wegen 2^[2^(n+1)] = [2^(2^n)]^2 gilt naemlich
die Rekursionsformel
F(n+1) = (F(n) - 1)^2 + 1.
und damit ist der Schluss von n auf n+1 einfach
zu erledigen
mfg
Orion |
Miriam (Mmemim)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Januar, 2002 - 16:23: |
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Hi Orion!
Danke für Deine Hilfe! Den Induktionsanfang und die Annahme habe ich jetzt hinbekommen. ABer beim Induktionsschluß komme ich nicht weiter. Kannst Du in Deinen Ausführungen nicht noch ein bißchen konkreter werden? Ich wäre Dir sehr dankbar!
Lieber Gruß Miriam |
Orion (Orion)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Januar, 2002 - 17:41: |
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Miriam :
Setzen wir zur Abkürzung
P(n) := prod[k=0..n-1]F(k).
Dann ist zu zeigen :
F(n) = P(n) + 2 für alle n >= 0.
Das ist wahr für n=0 (beachte: ein "leeres"
Produkt hat definitionsgemaess den Wert 1 ==>
P(0) = 1), und es sei für irgendein n>=0 schon
gesichert (Induktionsannahme). Die Induktionsbahauptung lautet dann:
F(n+1) = P(n+1) + 2.
Nun gilt offenbar
P(n+1) = P(n)*F(n), also
F(n+1) = F(n)*(F(n) - 2) + 2 (Rekursionsformel)
= F(n)*P(n) + 2 (Induktionsannahme)
= P(n+1) + 2. ¶
mfg
Orion |
Miriam (Mmemim)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Januar, 2002 - 09:27: |
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Hi Orion!
Jetzt habe ich noch zwei Fragen und dann hab ichs hoffentlich kapiert:
1. Woher nimmst DU an das P(n+1)=P(n)*F(n)?
2. Wie würde das aussehen,wenn ich konkret einsetzten würde? Zum BSP. bei P(n)->P(n+1)
heißt es dann prod[k=0...n+1]F(k) oder wie?Da liegt nämlich mein Problem,denn ich kenne mich überhaupt nicht mit dem Produktzeichen aus.Ist das erste Mal, daß wir eine Aufgabe in dieser Form bekommen!
THX
Miriam |
Orion (Orion)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Januar, 2002 - 14:04: |
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Miriam :
Ohne Produktzeichen geschrieben :
P(n):= F(0)*F(1)*...*F(n-1) (Definition)
==> P(n+1)= F(0)*F(1)*...*F(n-1)*F(n)= P(n)*F(n)
Ich nehme fragliche Gleichung also keineswegs an,
sie folgt vielmehr aus den Definitionen von F(n) und P(n).
Allgemein :
prod[k=0..m+p]a(k)
= prod[k=0..m]a(k)*prod[k=m+1..m+p]a(k)
mfg
Orion |
Orion (Orion)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Januar, 2002 - 14:06: |
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Miriam :
Ohne Produktzeichen geschrieben :
P(n):= F(0)*F(1)*...*F(n-1) (Definition)
==> P(n+1)= F(0)*F(1)*...*F(n-1)*F(n)= P(n)*F(n)
Ich nehme fragliche Gleichung also keineswegs an,
sie folgt vielmehr aus den Definitionen von F(n) und P(n).
Allgemein :
prod[k=0..m+p]a(k)
= prod[k=0..m]a(k)*prod[k=m+1..m+p]a(k)
mfg
Orion |
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