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Karsten
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Januar, 2002 - 10:21: | 
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Hallo!
Wie kann ich zeigen, dass es bis auf Isomorphie genau zwei wesentlich verschiedene Gruppen der Ordnung 6 gibt? Meine Ansätze waren:
1. Ausgehend von den beiden Gruppen der Ordnung 4 (diese dabei unverändert lassend) drumherum noch zwei weitere Elemente konstruieren. Das ging sofort schief, weil in der Gruppentafel die hinzugefügten Spalten und Zeilen mehrfach das gleiche Element enthielten, was wegen der Kürzungseigenschaft nicht passieren darf.
2. Analog zum Beweis zu den beiden Gruppen der Ordnung 4 neue Gruppentafeln konstruieren. Scheitert daran, dass dabei durch die Wahl des Pivotelementes Unmengen Gruppentafeln entstehen (5 Fakultät?). Es handelt sich um eine alte Klausuraufgabe und darum sollte es eine elegantere und vor allem schnellere Möglichkeit geben.
Danke für jede Hilfe! |
Lars Brünjes (Lbrunjes)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Januar, 2002 - 15:42: |
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Hallo, Karsten!
Sei G eine Gruppe der Ordnung 6. Aus den Sylow-Sätzen folgt zunächst:
1.) Es gibt genau eine Untergruppe N von G der Ordnung 3 und diese muß dann (als einzige 3-Sylow-Gruppe) ein Normalteiler sein.
2.) Es gibt entweder eine oder drei Untergruppen von G der Ordnung 2, werde eine von ihnen mit H bezeichnet.
Es ist dann klar, daß der Schnitt von H und N die triviale Untergruppe ist.
Dann ist die Komposition H->G->G/N ein Isomorphismus, denn "injektiv" folgt sofort aus der Trivialität des Schnittes und "surjektiv" dann aus der Tatsache, daß sowohl H als auch G/N zwei Elemente haben.
Bekanntlich(!) folgt hieraus (G Gruppe, N Normalteiler, H Untergruppe, H->G->G/N Isomorphismus), daß G das semidirekte Produkt von H und N ist (der Begriff wird z.B. im Algebra-Lehrbuch von S. Lang erklärt)
Es gibt (bis auf Isomorphie) nur eine Gruppe der Ordnung zwei und eine Gruppe der Ordnung drei, d.h. H und N sind eindeutig bestimmt. Da wir jetzt wissen, daß G semidirektes Produkt von H und N ist, ist nur noch zu klären, wie H auf N operiert, d.h. wie der Gruppenhomomorphismus H->Aut(N) aussieht.
Was ist Aut(N)? Es gibt offenbar genau zwei Automorphismen von N, die dadurch gegeben werden, daß ein Erezeuger auf sich selbst oder auf den anderen Erzeuger abgebildet wird. Aut(N) ist also zweielementig (und also isomorph zu H).
Wir müssen also Gruppenhomomorphismen H->H suchen, und da gibt es offenbar genau zwei: Die Identität und die Abbildung, die beide Elemente auf das neutrale Element abbildet.
Damit haben wir bewiesen, daß es höchsten zwei verschiedene Gruppen der Ordnung sechs geben kann.
Umgekehrt geben die beiden Gruppenhomomorphismen aber auch verschiedene Gruppen:
Die Identität liefert die (nichtabelsche!) Gruppe S3, die andere Abbildung liefert die (abelsche!) Gruppe C6, d.h. die zyklische Gruppe mit sechs Elementen.
Damit ist die Aufgabe gelöst. Wenn man nicht mit semidirekten Produkten argumentieren will, sollte man die beiden - aus den Sylowsätzen stammenden - Fälle
a) es gibt genau eine Untergruppe der Ordnung 2
b) es gibt genau drei Untergruppen der Ordnung 2
unterscheiden. Die Gruppe C6 erfüllt a, die Gruppe S3 b, d.h. beide Fälle können wirklich auftreten.
Jetzt müßte man sich noch "zu Fuß" überlegen, daß es im wesentlichen nur jeweils eine Gruppe geben kann, die a oder b erfüllt. Ich bin sicher, daß das nicht sehr schwer ist, aber zu faul mir das jetzt zu überlegen.
Viele Grüße -
Lars |
Karsten
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Januar, 2002 - 21:10: |
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Danke!
.o0(Da muss ich wohl die Sylow-Sätze suchen ^^) |
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