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pentax
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Januar, 2002 - 10:02: | 
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An welcher Stelle (x grösser 0) beträgt die Elastizität der Funktion f(x)=2x - 3/2 + 1/x Eins? Geben Sie für f(x) Elastizitätsbereiche an!
Danke für die Hilfe!!! |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Januar, 2002 - 14:59: |
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Hi pentax,
Wir berechnen die Elastizität epsilon der Funktion f(x)
für positive x und bezeichnen sie mit E = E(x)
Wir erhalten mit der ersten Ableitung f `(x) von f(x)
E = E(x) = x* f `(x) / f(x) = [2 x ^ 2 – 1] / [2 x ^ 2 – 3/2 x + 1 ]
E = 1 führt auf die Gleichung - 2 = - 3/2 x ,
daraus x = 4/3
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F sei der absolute Betrag der Elastizität E
F = 1 : das Verhalten von f bezüglich x nennt man in diesem Fall
ausgeglichen elastisch.
Bei x = 4/3 befindet sich eine Uebergangsstelle von elastischem
zu unelastischem Verhalten:
0< F <1 bedeutet: f ist an der betreffenden Stelle unelastisch.
1 < F bedeutet: f ist an der betreffenden Stelle elastisch
E = -1 führt auf die Gleichung 4 x ^ 2 = 3/2 x , da x > 0 kommt nur
x = 3/8 in Frage. Auch hier gilt wegen F = 1: das Verhalten ist
ausgeglichen elastisch
Nullstelle bei x = ½ * wurzel(2); hier ist E = F = 0
An dieser Stelle heisst f vollkommen unelastisch oder starr.
Verschaffe Dir Klarheit über den Verlauf der Funktion E
mit einer Skizze des Grafen von E(x).
Beachte : der Graf besitzt eine horizontale Asymptote E = 1,
da lim E(x) = 1 für x strebt gegen unendlich gilt.
Damit tendiert f(x) für grosse x wiederum gegen den Zustand
ausgeglichener Elastizität
Wir berechnen noch die Ableitung E`(x):
E ` (x) = -2* [6 x ^2 – 16 x + 3 ] / [4 x^2 –3 x + 2 ) ^ 2
Wir finden ein absolutes Maximum an der Stelle
x = {8+wurzel(46) }/ 6 = 2,4637
Wir finden ein absolutes Minimum an der Stelle
x = {8-wurzel(46) }/ 6 = 0,20945
Die zugehörigen E-Werte lassen sich leicht berechnen;
ihre absoluten Werte sind grösser als 1
und gehören damit zum elastischen Bereich.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Januar, 2002 - 15:52: |
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Hi pentax,
Eine kleine Ergänzung:
Auch das Maple – System kennt sich in der Frage nach Intervallen für
ein elastische Verhalten der gegebenen Funktion aus
Die Frage nach (abs (E) >1), dies bedeutet eben elastisches Verhalten,
wird so beantwortet:
RealRange(Open(4/3),infinity),RealRange(Open(0),Open(3/8))
Ich glaube, die beiden offenen x- Intervalle sprechen für sich.
Anmerkung:
Was bedeutet eigentlich elastisches Verhalten ?
Antwort: f reagiert sensibel auf Aenderungen von x ,und zwar um so
stärker, je grösser der Betrag von E ist.
Geht der Betrag von E gegen unendlich ,so spricht man von
vollkommener Elastizität.
Dieser Fall tritt bei Deinem Beispiel bei weitem nicht auf , da
F beschränkt ist, wie die Analyse in der vorigen Arbeit zeigte.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Kein_Mathematiker
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. März, 2002 - 11:05: |
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Hallo, ich habe hier eine Funktion, deren partielle Änderungsrate am Punkt f(1,1) zu bestimmen ist. Irgendwie komme ich jedoch nicht auf die Musterlösung, die mir vorliegt.
Also die Funktion: (3xy)/(3x+6y)
vereinfacht ergibt das: (xy)/(x+2y) ... soweit so gut. Als nächstes muss man doch partiell nach x ableiten
Egal, ob man nun mittels Produktregel (nach Umformung) oder nach Quotientenregel ableitet, irgendwann erhält man: (2y^2)/(x+2y)^2. Und nun mein Problem: Ich denke, man könnte an dieser Stelle mit dem Ableiten aufhören und durch die Ausgangsfunktion dividieren, was dann zur gesuchten Änderungsrate führen müsste. Also:
((2y^2)/(x+2y)^2)/(xy)/(x+2y) für den Punkt f(1,1); Division durch einen Bruch, also mit dem Reziproken malnehmen: ((2y^2)/(x+2y)^2)*((x+2y)/(xy)) Einsetzen des Punktes ergibt: ((2*1^2)/(1+2*1)^2)*(1+2*1)^2/1*1) --> 2/9*3/1 = 6/9 = 2/3. Frage: was ist daran falsch? Die Musterlösung geht nämlich anders vor:
An der oben genannten Stelle: (2y^2)/(x+2y)^2 wird von Zähler und Nenner die Wurzel gezogen:
(Wurzel 2*y)/(x+2y). Berechnet man nun auf dieser Basis die Änderungsrate, so erhält man als Lösung: (Wurzel2) /1 = Wurzel 2.
Das verstehe ich nicht...
Ich hoffe, das Problem ist verständlich dargestellt und es kann mir jemand helfen. Danke im Voraus.
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