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Beitrag |
    
Nadine
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Januar, 2002 - 23:53: | 
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ich hoffe unter Euch ist jemand, der mir mit einfachen Worten erklären kann, was Integration ist und wie man Funktionen integrieren kann.
ich muss zum Beispiel Aufgaben wie die folgenden lösen können:
a.)bestimmen sie die stammfunktion zu f(x)=x^2e^x,
b.)bestimmen sie das uneigentliche Integral
-oo s 0 f(x)dx für f(x)=(x^2-(3/2)x)e^x
(das s soll die komische lange schlange sein wobei unten das -oo steht und oben die 0)
ich brauche wirklich dringend <Hilfe, da ich zum Semesterende eine Klausur schreibe und leider keinen blassen Schimmer habe.
danke
Nadine |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Januar, 2002 - 12:34: |
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Hallo nadine,
Wie bist du denn an eine Uni gekommen? |
Mh (Manfred)
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Januar, 2002 - 16:00: |
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Hi Nadine.
Gute Frage von Fern. Ich will trotzdem versuchen, Dir zu antworten:
Ein Integral bedeutet den Grenzwert von einer Summe: Die Summanden sind Differentiale, als unendlich kleine Stückchen.dem Graphen einer Funktion f(x) bis zur x-Achse.
Meistens wird Integralrechnung mit der Flächenberechnung eingeführt: dA = f(x) dx bedeutet ein kleines Stück von der Fläche A unter Die Fläche selber erhält man durch Integration: A = ò f(x) dx. (Das bedeutet also die komische Schlange.)
In der Praxis ist die Integration die Umkehrung der Differentiation. Daß heißt, wenn Du ein Integral òa b f(x) dx berechnen mußt, ist das F(b) - F(a), wenn F eine Stammfunktion von f ist, d.h. F ergibt abgeleitet F' = f.
Es gibt einige Rechenverfahren, um Integrale auszuwerten. Die partielle Integration wird Dir bei der ersten Aufgabe helfen. Die Formel dafür ist ò f'(x)·g(x) dx = f(x)·g(x) dx - ò f'(x)·g(x) dx.
Auf x²·ex angewandt:
ò x²·ex dx = x²·ex - ò 2x·ex dx = x²·ex - (2x·ex - ò 2·ex) = (x² - 2x + 2)·ex
Die Stammfunktion zu f(x) = (x² - 3/2·x)·ex findest Du genauso zu F(x) = (x² - 7/2·x + 5/2)·ex. Uneigentliches Integral heißt es, weil die untere Grenze -unendlich ist:
F(0) - F(-oo) = 5/2 - 0
Hm?
Manfred |
nadine
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Januar, 2002 - 22:34: |
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Hallo Manfred,
danke dass du mir geantwortet hast.
Die partielle Integration ist wahrscheinlich das richtige, um diese Aufgaben zu lösen, nur kann ich leider das Verfahren nicht richtig verstehen, ich werde wohl noch ein, zwei Bücher zu Hand nehmen, um das Kapitel Integration einfach mal nachzulesen. Differenzieren kann ich, nur bei der Umkehrung scheitert es bei mir. Leider habe ich die Integration in der Schule nie gehabt, lag wohl daran, dass ich Mathe nie besonders mochte und dementsprechend versucht habe, möglichst wenig davon machen zu müssen, was bis zum Abitur ganz gut geklappt hat, aber in der Uni nicht funktioniert.
hallo fern,
in deutschland ist die gymnasiale oberstufe so geregelt, dass man die möglichkeit hat, seinen schwerpunkt in der oberstufe auf naturwissenschaften oder auf sprachen oder auf geisteswissenschaftliche fächer wie zB politik zu legen. natürlich kann man die fächer außerhalb des schwerpunktes nicht vollständig abwählen, dennoch werden in "abdeckerkursen" die inhalte nicht so auführlich behandelt, wie in leistungskursen. ich finde diese regelung gut so, da sie hilft einer vorherrschenden meinung entgegenzutreten, naturwissenschaften seien im allgemeinen höher zu bewerten als sprachen oder geisteswissenschaften.
ich hoffe ich habe deutlich gemacht warum ich guten gewissens studieren kann - ohne viel ahnung von Integralrechnung zu HABEN.
tschüss sagt nadine |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Januar, 2002 - 18:09: |
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HALLO NADINE,
DANKE FÜR DIE ERKLÄRUNGEN, DIE ICH MIT INTERESSE UND ERSTAUNEN ZUR KENNTNIS GENOMMEN HABE. DA ICH SELBST NIE IN EINE DEUTSCHE SCHULE GEGANGEN BIN, HABE ICH VOM DORTIGEN LEHRPLAN ZUGEGEBENERMASSEN KEINE AHNUNG. ICH BIN AUCH VÖLLIG DEINER MEINUNG, DASS GEISTESWISSENSCHAFTEN GLEICHBERECHTIGT NEBEN NATURWISSENSCHAFTEN STEHEN SOLLTEN. WAS MIR NOCH NICHT GANZ KLAR IST: WARUM MUST DU DICH AUF DER UNI MIT MATHE HERUMSCHLAGEN? ODER HAST DU AUF NATURWISSENSCHAFTEN UMGESCHWENKT?
JEDENFALLS WÜNSCHE ICH DIR EIN ERFOLGREICHES STUDIUM (MIT ODER OHNE MATHE).
Fern |
Mh (Manfred)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Januar, 2002 - 11:06: |
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Hi Nadine.
Gut gesprochen.
Wenn man fragen darf: Was studierst Du denn jetzt?
Ich schreib' Dir später nochmal was zur partiellen Integration.
Jetzt hab' ich nur schnell Zeit, meinen Fehler zu korrigieren: Ich hab' da einen Text an der falschen Stelle eingefügt (Hoppala!), der erste Absatz sollte heißen:
Ein Integral bedeutet den Grenzwert einer Summe: Die Summanden sind Differentiale, also unendlich kleine Stückchen.
Meistens wird Integralrechnung mit der Flächenberechnung eingeführt: dA = f(x) dx bedeutet ein kleines Stück von der Fläche A unter dem Graphen einer Funktion f(x) bis zur x-Achse.
{...}
Na denn, mach's gut (was auch immer)!
Manfred |
Mh (Manfred)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Januar, 2002 - 07:07: |
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Nochmal: Hallo Nadine.
Also, partielle Integration leitet sich aus der Produktregel für's Ableiten her und funktioniert so:
ò f'(x)·g(x) dx = f(x)·g(x) - ò f(x)·g'(x) dx
Das bedeutet, wenn Du ein das Integral eines Produkts lösen sollst, führt es die partielle Integration auf das Integral eines neuen Produkts, bei dem ein Faktor integriert und der andere abgeleitet worden ist, zurück.
Sie ist vor allem dann hilfreich, wenn der eine Faktor derart ist, das er sich - ggF. bei mehrmaliger Anwendung der partiellen Integration - wegableitet und der andere nicht kompliziertr wird (wie bei ex, sin x oder cos x).
Nochmal das Beispiel x²·ex in aller Ausführlichkeit:
In obiger Formel ist f'(x) = ex und g(x) = x². Das wähle ich so, weil ich g(x) später ableiten darf, und da freue ich mich schon, weil das einfacher wird. (Du auch?)
Also: f(x) = ex und g'(x) = 2x.
In die Formel eingesetzt: ò x²·ex dx = x²·ex - ò 2x·ex dx
Für ò x·ex dx nocheinmal dasselbe:
f'(x) = ex; g(x) = x => f(x) = ex; g'(x) = 1.
partielle Integration: ò x·ex dx = x·ex - ò 1·ex dx
Da ò ex dx = ex ist schließlich:
ò x²·ex dx = x²·ex - 2·(x·ex - ex) = (x²-2x+2)·ex
Probier doch mal, das mit der Produktregel wieder abzuleiten:
[ d/dx f(x)·g(x) = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x) ]
Also: (2x-2)·ex + (x²-2x+2)·ex = x²·ex - voilà!
Integrieren als Umkehrung zum Differenzieren - nur eine Frage der Übung. Und wenn Du dann noch siehst, wie Du das in bestimmten Integralen anwenden kannst... vielleicht wird's Dir sogar Spaß machen!
Bestimmte Integrale sind das, was im Grenzwert aus Summen von kleinen Stückchen geworden ist:
òa b f(x) dx := limn -> inf Summe0<i<n f(xi) · (xi-xi-1)
Und nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist òa b f(x) dx = F(b) - F(a), wenn F eine Stammfunktion von f ist, also F(x) = ò f(x) dx.
Hm? |
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