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steffi
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Januar, 2002 - 20:55: | 
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Hallo ich hoffe es kann mir jemand helfen.
Wir haben unter dem Thema Beweise über hinreichende und notwendige Bedingungen gesprochen. Ich habe nur das Problem das ich nicht verstehen wann eine Bedingung hinreichend und wann notwendig oder beides ist.
Vielleicht kennt jemand eine gute Definition die mir helfen kann es zu verstehen.
Unser Prof.will für alle möglichen Sätze wissen welche der Bedingungen zutrifft so dass es nicht nur für ein spezielles Gebiet angewendet werden muß.
Für eure Hilfe vielen Dank im voraus.
Steffi |
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Januar, 2002 - 23:09: |
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Hallo Steffi, reichen vielleicht auch Beispielaufgaben statt einer Definition?
Beispiel 1)
Gib
a) eine notwendige und hinreichende
b) eine hinreichende, aber nicht notwendige
c) eine notwendige, aber nicht hinreichende
Bedingung dafür an, dass die Gleichung
(*) x² +2px +q = 0
mindestens eine reelle Lösung besitzt (p,q reell)
a) p²-q ³ 0 ist notwendig und hinreichend.
b) i) p²-q=0 ist (nur) hinreichend dafür, dass es mindestens eine Lösung gibt. (aber nicht notwendig)
Ist z.B. p=2 und q=4, so ist diese Bedingung erfüllt, und die Gleichung hat
eine (genau eine) reelle Lösung. Aber es ist natürlich nicht notwendig,
dass dies gilt, Bei p=2 und q=3 gibt es auch eine Lösung (sogar zwei,
aber eben auch: "mindestens eine"), obwohl die Bedingung p²-q=0 nicht
erfüllt ist, also war p²-q = 0 keine notwendige Bedingung.
Die Gültigkeit von p²-q=0 hat ausgereicht, dass die Gleichung (*) eine Lösung hat.
Die Bedingung p²-q=0 war ausreichend oder mit einem anderen Wort eben: hinreichend.
b) ii) Ebenso ist die Bedingung p²-q > 0 hinreichend. Dies ist eine Alternative, aber sie ist ebenfalls nicht notwendig, denn genausogut könnte i) gelten.
c) i) notwendig ist z.B. die Bedingung, dass p²-q > -2 ist, oder auch, dass
p²-q > -5 ist. Ebenso kann jede andere natürliche Zahl n dort stehen: p²-q > -n,
auch kann es heißen: p²-q ³ n. Notwendig ist diese Bedingung deshalb, da,
wenn sie nicht erfüllt wäre, also ihr Gegenteil p²-q £ -2 oder im andern Fall
p²-q £ -5 gälte, es sofort klar wäre, dass es keine reelle Lösung gibt.
Aber: Hinreichend waren diese natürlich nicht, z.B. wenn p=1, q=2 ist,
ist zwar p²-q = 1-2 = -1 > -2 erfüllt, aber eine Lösung gibt es trotzdem nicht,
da die Bedingung aus a) nicht erfüllt ist.
ii) eine andere hinreichende Bedingung, dass es auf jeden Fall eine Lösung gibt,
ist, dass q<0 ist. Das ist aber nicht notwendig: z.B. bei x²+2x+1=0 ist das q=1,
also nicht q<0, aber trotzdem hat die Gleichung (mind.) eine Lösung.
Zweites Beispiel:
3 Aussagen:
(A) Die Zahl z ist durch 2 teilbar.
(B) die Zahl z ist durch 3 teilbar.
(C) die Zahl z ist durch 6 teilbar.
Vorweg die dahinterstehenden Aussagen in abgekürzter Schreibweise mit Implikationszeichen "==>"
C ==> A: A ist notwendig für C (Bsp.: z=12, denn gälte A nicht: z=9 oder z=5, dann gälte auch nicht C)
C ==> B: B ist notwendig für C (Bsp.: z=12, denn gälte B nicht: z=4 oder z=7, dann gälte auch nicht C)
B =|=> A: A ist nicht notwendig für B (Bsp.: z=9)
B =|=> C: C ist nicht notwendig für B (Bsp.: z=9)
B =|=> A: B ist nicht notwendig für A (Bsp.: z=4)
C =|=> A: C ist nicht notwendig für A (Bsp.: z=8)
A ==> C: A ist nicht hinreichend für C (Bsp.: z=4)
B =|=> C: B ist nicht hinreichend für C (Bsp.: z=9)
A =|=> B: A ist nicht hinreichend für B (Bsp.: z=4)
C ==> B: C ist hinreichend für B (Bsp.: z=12)
B =|=> A: B ist nicht hinreichend für A (Bsp.: z=9)
C =|=> A: C ist hinreichend für A (Bsp.: z=12)
(A und B(beide gleichzeitig) sind hinreichend für C, aber:
(A und B(beide gleichzeitig) sind auch notwendig für C.
kurz:
(A und B) sind hinreichend und notwendig für C. |
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